Question

Найти область определения функции: y=sqrt((x+4)/(x-2)) Просьба расписать подробно

Answer 1

Подкоренное выражение - число неотрицательное.
Решаем следующее неравенство:
(x + 4)/(x - 2) ≥ 0
Нули числителя: x = -4
Нули знаменателя: x = 2
|||||||+||||||||-4          -               2||||||+|||||||||||||||||
--------------●----------------------0------------------> x
x ∈ (-∞; -4] U (2; +∞)

Ответ: D(y) = (-∞; -4] U (2; +∞).

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y = sqrt((x + 4)/(x - 2)), нужно определить значения x, для которых функция определена и имеет смысл.

В данном случае, функция определена и имеет смысл только тогда, когда значение подкоренного выражения больше или равно нулю, поскольку мы берем квадратный корень из этого значения.

Выражение под корнем — (x + 4)/(x - 2). Чтобы его значение было больше или равно нулю, необходимо, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковые знаки или чтобы числитель равнялся нулю (так как знаменатель не может быть нулем).

Рассмотрим эти условия отдельно:

1. Числитель (x + 4) равен нулю: x + 4 = 0 x = -4

2. Знаменатель (x - 2) не равен нулю: x - 2 ≠ 0 x ≠ 2

Теперь рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

• Если числитель и знаменатель положительны, то (x + 4)/(x - 2) > 0.
• Если числитель и знаменатель отрицательны, то (x + 4)/(x - 2) > 0.
• Если числитель и знаменатель имеют разные знаки, то (x + 4)/(x - 2) < 0.

Из этих условий можно составить таблицу знаков:

Copy code
x < -4    -4 < x < 2    x > 2

---

(x + 4)/(x - 2) | - | + | -

scssCopy code
   sqrt((x + 4)/(x - 2))  | не определено |   +    | не определено

Таким образом, областью определения функции y = sqrt((x + 4)/(x - 2)) является интервал (-4, 2) объединенный с интервалом (2, +∞). Это означает, что все значения x в этом интервале могут быть подставлены в функцию, чтобы получить определенные значения y.