Question

Найдите первообразную функцию f(x)=3cosx-4sinx

Answer 1

F(x)=3*sinx+4*cosx+C

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 3cos(x) - 4sin(x), мы будем использовать метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на формуле:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du,

где u и v - функции, а du и dv - их дифференциалы.

Применяя этот метод к функции f(x) = 3cos(x) - 4sin(x), мы выберем u = 3cos(x) и dv = dx, чтобы получить du = -3sin(x)dx и v = x:

∫ (3cos(x) - 4sin(x)) dx = ∫ u * dv = u * v - ∫ v * du = 3cos(x) * x - ∫ x * (-3sin(x)) dx = 3xcos(x) + 3∫ xsin(x) dx.

Теперь мы можем рассмотреть интеграл ∫ xsin(x) dx. Для его вычисления мы снова воспользуемся методом интегрирования по частям, выбрав u = x и dv = sin(x) dx:

∫ x * sin(x) dx = ∫ u * dv = u * v - ∫ v * du = x * (-cos(x)) - ∫ (-cos(x)) dx = -x * cos(x) + ∫ cos(x) dx = -x * cos(x) + sin(x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь мы можем заменить полученное значение обратно в первоначальное выражение:

∫ (3cos(x) - 4sin(x)) dx = 3xcos(x) + 3(-x * cos(x) + sin(x)) + C = 3xcos(x) - 3x * cos(x) + 3sin(x) + C = (3 - 3x)cos(x) + 3sin(x) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 3cos(x) - 4sin(x) равна (3 - 3x)cos(x) + 3sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.