Question

Найти интервалы монотонности экстремумы функции Пример:f(x)=-x³-2x²+1 Нужно подробное решение, спасибо если ответите))

Answer 1

Чтобы найти интервалы монотонности, нужно найти производную.
Производная суммы равны сумме производных.
f'(x)=-3x^2-4x
Найдем нули производной
-3x^2-4x=0
-x(3x+4)=0
x=0 x =-4/3
При x>0 f'(x) < 0 => f(x) убывает на интервале (0;+бесконечность)
При -4/3<x<0 f'(x) f'(x) > 0 => f(x) возрастает на интервале (-4/3;0)
При x<-4/3 f'(x) < 0 => f(x) убывает на интервале (0;+бесконечность)
x=-4/3 - точка минимума(производная меняет знак с - на + при переходе через эту точку)
x=0 - точка максимума (производная меняет знак с + на - при переходе через эту точку)

Answer 2

Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции f(x)=-x³-2x²+1, мы сначала найдем производную функции и выясним, где она положительна или отрицательна.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = -3x² - 4x

2. Найдем точки, где производная равна нулю: -3x² - 4x = 0 x(-3x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки: x = 0 -3x - 4 = 0 -3x = 4 x = -4/3

3. Построим таблицу знаков производной, используя найденные точки и произвольные тестовые значения в интервалах между точками:

scssCopy code
  x         -∞         -4/3          0           +∞
---------------------------------------------------
  f'(x)    (-)         0            (+)          (-)

Знак "+" означает положительное значение производной, а знак "-" - отрицательное значение производной.

4. Анализируя таблицу знаков производной, мы можем сделать следующие выводы:

• В интервале (-∞, -4/3) производная f'(x) отрицательна, что означает, что функция f(x) убывает на этом интервале.
• В интервале (-4/3, 0) производная f'(x) положительна, что означает, что функция f(x) возрастает на этом интервале.
• В интервале (0, +∞) производная f'(x) отрицательна, что означает, что функция f(x) убывает на этом интервале.

5. Теперь найдем значения функции f(x) в критических точках и на границах области определения для определения экстремумов:

• Подставим x = -4/3 в f(x): f(-4/3) = -(-4/3)³ - 2(-4/3)² + 1 = -(64/27) + 2(16/9) + 1 = -64/27 + 32/9 + 1 = -64/27 + 96/27 + 27/27 = 59/27

• Подставим x = 0 в f(x): f(0) = -(0)³ - 2(0)² + 1 = 1

Таким образом, имеем:

• Минимум функции f(x) находится в точке (-4/3, 59/27) с значением 59/27.
• Максимум функции f(x) находится в точке (0, 1) с значением 1.

Итак, интервалы монотонности и экстрем