Question

Докажите что 7 в степени 16 + 7 в степени 14 деляться на 50

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Давайте докажем, что число $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50, используя арифметику по модулю.

Мы можем записать число $7^{16} + 7^{14}$ как $7^{14} \cdot (7^2 + 1)$. Обозначим это число как $N$: $N = 7^{14} \cdot (7^2 + 1)$

Разложим $7^{14}$ на множители: $7^{14} = (7^2)^7 = 49^7$

Теперь заметим, что $49$ делится на $50$ без остатка, поскольку $49 = 50 - 1$. Мы можем записать это как $49 \equiv -1 \pmod{50}$.

Вернемся к нашему числу $N$: $N = 7^{14} \cdot (7^2 + 1) \equiv (-1)^7 \cdot (7^2 + 1) \pmod{50}$

Теперь рассмотрим $(-1)^7$: $(-1)^7 = -1$, так как нечетное число, возведенное в степень нечетного числа, остается отрицательным.

Подставим это обратно в наше выражение: $N \equiv -1 \cdot (7^2 + 1) \pmod{50}$ $N \equiv -1 \cdot (49 + 1) \pmod{50}$ $N \equiv -1 \cdot 50 \pmod{50}$ $N \equiv 0 \pmod{50}$

Таким образом, мы доказали, что $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50 без остатка.