Question

Решите уравнение  tg(x+pi/4)+1=2(корень из 2+1)ctgx    

Answer 1

(tgx+1)/(1-tgx)+1=2(sqrt(2)+1)1/tgx
tgx=t
2/(1-t)=2(sqrt(2)+1)1/t
t=(sqrt(2)+1)-t(sqrt(2)+1)
t=1/sqrt(2)
x=arctg(1/sqrt(2))+пk

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте выполним несколько шагов.

1. Заметим, что "ctgx" является обратной функцией для тангенса, поэтому заменим "ctgx" на "1/tgx".

Уравнение принимает вид: tg(x + π/4) + 1 = 2(√2 + 1)(1/tgx)

2. Используем тригонометрические тождества для упрощения выражения.

tg(x + π/4) = (tgx + 1)/(1 - tgx)

Подставим это в уравнение:

(tgx + 1)/(1 - tgx) + 1 = 2(√2 + 1)(1/tgx)

3. Устраняем знаменатель, умножая обе части уравнения на (1 - tgx) * tgx:

tgx + 1 + tgx(1 - tgx) = 2(√2 + 1)(1 - tgx)

tgx + 1 + tgx - tgx^2 = 2(√2 + 1)(1 - tgx)

4. Раскроем скобки:

2tgx + 1 - tgx^2 = 2(√2 + 1) - 2tgx(√2 + 1)

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

tgx^2 + 2tgx(√2 + 1) - 2tgx - 2(√2 + 1) + 1 = 0

6. Упростим уравнение:

tgx^2 + 2tgx(√2 + 1) - 2tgx - 2√2 - 2 + 1 = 0

tgx^2 + (2√2 - 1)tgx - 2√2 - 1 = 0

7. Решим полученное квадратное уравнение относительно "tgx".

Используя формулу дискриминанта для квадратного уравнения, имеем:

D = b^2 - 4ac = (2√2 - 1)^2 - 4(1)(-2√2 - 1) = 8 - 4√2 + 1 - 4(-2√2 - 1) = 8 - 4√2 + 1 + 8√2 + 4 = 13 + 4√2 + 8√2 = 13 + 12√2

8. Теперь, найдем корни квадратного уравнения:

tgx = (-b ± √D) / (2a) = (-(2√2 - 1) ± √(13 + 12√2)) / 2

Окончательное решение уравнения будет зависеть от значений tgx, которые можно получить из данных выражений.