Question

Найдите все целые n, при которых значение дроби (2n^2−7n+12) : n−2 является целым числом. В ответе укажите количество таких n. Пожалуйста,помогите. Даю 99 баллов

Answer 1

$\displaystyle \frac{2n^2-7n+12}{n-2} =\bigg(2n-3\bigg)+ \frac{6}{n-2}$

Так как  $\bigg(2n-3\bigg)$ - целое, то  данный дробь будет целым, если второе слагаемое дроби будет целым, то есть, дробь не должен превышать 6.

Таких целых n несколько: -4; -1; 0; 1; 3; 4; 5; 8 - количество: 8

Answer 2

Хорошо, чтобы найти все целые значения n, при которых значение дроби (2n^2−7n+12) : (n−2) является целым числом, мы можем использовать метод деления с остатком.

Выражение (2n^2−7n+12) : (n−2) можно переписать в виде (2n^2−4n−3n+6+6) : (n−2), что эквивалентно (2n(n−2)−3(n−2)+12) : (n−2).

Разделим числитель на знаменатель и применим деление с остатком:

(2n(n−2)−3(n−2)+12) : (n−2) = (2n(n−2)−3(n−2)) : (n−2) + 12 : (n−2).

Заметим, что числитель можно разложить на множители:

2n(n−2)−3(n−2) = (n−2)(2n−3).

Теперь выражение становится:

(n−2)(2n−3) : (n−2) + 12 : (n−2).

Здесь можно сократить общий множитель (n−2):

(2n−3) + 12 : (n−2).

В итоге, имеем:

2n−3 + 12 : (n−2).

Разобъем на два случая:

1. n ≠ 2: Если n ≠ 2, то (n−2) ≠ 0, и мы можем сократить общий множитель (n−2):

2n−3 + 12 : (n−2) = 2n−3 + 12 = 2n+9.

Это выражение будет являться целым числом только при n, удовлетворяющем уравнению 2n+9 = 0. Решим это уравнение:

2n+9 = 0 2n = -9 n = -9/2.

Таким образом, при n = -9/2 (или n = -4.5) выражение (2n^2−7n+12) : (n−2) является целым числом.

2. n = 2: При n = 2 знаменатель (n−2) равен нулю, и деление не определено. Следовательно, при n = 2 выражение не является целым числом.

Итак, единственным значением n, при котором значение дроби (2n^2−7n+12) : (n−2) является целым числом, является n = -9/2 (или n = -4.5).

В ответе у нас только одно такое n, поэтому количество таких n равно 1.