Question

Помогите, пожалуйста! Разложите на множители: x^3-8x^2+19x-12, где ^-возведение в степень

Answer 1

Методом разложения на множители

Запишем одночлены в сумму нескольких
x³-8x²+19x-12 = x³-x²-7x²+7x+12x-12=
Можем вынести за скобки общий множитель
=x²(x-1)-7x(x-1)+12(x-1)=(x-1)(x²-7x+12)=(x-1)(x²-3x-4x+12)=
=(x-1)(x(x-3)-4(x-3))= (x-1)(x-3)(x-4)

Answer 2

Чтобы разложить выражение на множители, мы должны попытаться найти корни этого полинома. Для начала, давайте проверим, существуют ли целочисленные корни, используя теорему о рациональных корнях.

Теорема о рациональных корнях утверждает, что если у полинома с целыми коэффициентами есть рациональный корень p/q (где p - делитель свободного члена, а q - делитель старшего коэффициента), то p должно быть делителем свободного члена, а q - делителем старшего коэффициента.

У нашего полинома свободный член -12 и старший коэффициент 1. Потенциальные делители свободного члена -12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Потенциальные делители старшего коэффициента 1: ±1.

Пробуем эти значения в полиноме, чтобы найти рациональные корни:

Подставим x = 1: (1)^3 - 8(1)^2 + 19(1) - 12 = 1 - 8 + 19 - 12 = 0. Корень x = 1.

Подставим x = -1: (-1)^3 - 8(-1)^2 + 19(-1) - 12 = -1 - 8 - 19 - 12 = -40. Корень x = -1 не является рациональным корнем.

Мы нашли один рациональный корень: x = 1. Теперь мы можем разделить полином на (x - 1) с помощью деления с остатком.

(x^3 - 8x^2 + 19x - 12) / (x - 1) = x^2 - 7x + 12

Теперь мы можем разложить x^2 - 7x + 12 на множители.

x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

Итак, полином x^3 - 8x^2 + 19x - 12 разлагается на множители как (x - 1)(x - 3)(x - 4).