Question

Найти первообразную от 1/3^x ( опишите каждый шаг)

Answer 1

$f(x)=a^x \Rightarrow F(x)= \frac{ a^x}{lna}+C \\ \\ f(x)=( \frac{1}{3})^x\Rightarrow F(x)= \frac{ \frac{1}{3} ^x}{ln \frac{1}{3} }+C =$

$= \frac{ \frac{1}{3} ^x}{ln 3^{-1}}+C = - \frac{ \frac{1}{3} ^x}{ln 3}+C$

Answer 2

F(x)=1/3^x
F'(x)=(1/3^x)'=1/3^x ln 1/3
1/3^x ln 1/3 - первообразная для 1/3^x

Answer 3

Чтобы найти первообразную от функции 1/3^x, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Воспользуемся следующей формулой интегрирования по частям:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du,

где u и v - функции переменной x, их производные обозначены как du и dv соответственно.

Для данной задачи возьмем u = 1 и dv = 1/3^x dx. Тогда du = 0 и вычислим v:

dv = 1/3^x dx

Интегрируя, получаем:

∫ dv = ∫ 1/3^x dx

v = ∫ 1/3^x dx

Для интегрирования 1/3^x воспользуемся формулой интеграла от a^x:

∫ a^x dx = (1 / ln(a)) * a^x + C,

где ln(a) - натуральный логарифм от a.

Применим эту формулу:

v = ∫ 1/3^x dx = (1 / ln(3)) * 3^x + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вернуться к формуле интегрирования по частям:

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du.

Подставим значения:

∫ (1) * (1/3^x dx) = (1) * ((1 / ln(3)) * 3^x + C) - ∫ ((1 / ln(3)) * 3^x) * (0 dx).

Заметим, что производная du равна нулю, поэтому ∫ ((1 / ln(3)) * 3^x) * (0 dx) равно нулю.

Таким образом, окончательный результат будет:

∫ 1/3^x dx = (1 / ln(3)) * 3^x + C,

где C - произвольная постоянная.