Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^(5)+5x^(3)-20x на отрезке [-5; 0] в скобках степени

Answer 1

Найдём производную функции:
  $y'=(x^5+5x^3-20x)'=5x^4+15x^2-20$
Приравниваем производную функции к нулю:
    $y'=0;\,\,\,5x^4+15x^2-20=0$
Cделаем замену:  $t=x^2$ причем  $t \geq 0$, получаем:
$5t^2+15t-20=0|:5\\ t^2+3t-4=0\\ t_1=1\\t_2=-4$
Корень t=-4 не удовлетворяет условию при  $t \geq 0$

Возвращаемся к замене:

$x^2=1\\ x=\pm1$

x=1 не пренадлежит промежутку [-5;0].

Найдём наибольшее значение функции на отрезке:

$f(0)=0^5+5\cdot0^3-20\cdot0=0$
$f(0)=(-5)^5+5\cdot(-5)^3-20\cdot(-5)=-3650$
$f(0)=(-1)^5+5\cdot(-1)^3-20\cdot(-1)=-1-5+20=14$ -  наибольшее

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^5 + 5x^3 - 20x на отрезке [-5; 0], мы можем применить метод дифференцирования. Найдем производную функции и найдем значения x, где производная равна нулю. Эти значения будут критическими точками функции на заданном интервале.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 5x^4 + 15x^2 - 20.

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: 5x^4 + 15x^2 - 20 = 0.

   Это уравнение является квадратным относительно x^2. Подставим t = x^2 и решим квадратное уравнение: 5t^2 + 15t - 20 = 0.

   Решение этого уравнения даст нам значения t, а затем мы сможем найти соответствующие значения x.

   Решим квадратное уравнение: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 5, b = 15, c = -20.

   t = (-15 ± √(15^2 - 45(-20))) / (2*5) = (-15 ± √(225 + 400)) / 10 = (-15 ± √625) / 10 = (-15 ± 25) / 10.

   Таким образом, получаем два значения t: t1 = 1 и t2 = -4.

   Для каждого значения t найдем соответствующие значения x: Для t1: x^2 = t1 => x^2 = 1 => x1 = 1 и x2 = -1. Для t2: x^2 = t2 => x^2 = -4 (это не имеет решений, так как квадрат никогда не может быть отрицательным).

3. Теперь найдем значения функции y в найденных критических точках и на концах интервала [-5; 0]:

   Для x = -5: y = (-5)^5 + 5(-5)^3 - 20(-5) = -3125 - 625 + 100 = -3650. Для x = -1: y = (-1)^5 + 5(-1)^3 - 20(-1) = -1 - 5 + 20 = 14. Для x = 0: y = 0^5 + 5(0)^3 - 20(0) = 0.

   Таким образом, наибольшее значение функции y = x^5 + 5x^3 - 20x на отрезке [-5; 0] равно 14.