Question

Монотонность функции y = 3/5x + 4 определить характер монотонности функции с доказательством

Answer 1

Если в линейной функции y = kx + b, угловой коэффициент k > 0, то функция является возрастающей на всей числовой прямой, а иначе для k < 0 - убывающей.

В данном случае k = 3/5 > 0 ,т.е. функция возрастает на всей числовой прямой.

Answer 2

Для определения характера монотонности функции y = (3/5)x + 4, мы должны рассмотреть производную этой функции. Если производная положительна на всей области определения функции, то функция является возрастающей. Если производная отрицательна на всей области определения функции, то функция является убывающей. Если производная равна нулю на каких-то точках или не определена, то функция имеет экстремумы или точки перегиба.

Функция y = (3/5)x + 4 является линейной функцией с коэффициентом наклона 3/5. Производная линейной функции равна коэффициенту наклона, поэтому производная данной функции равна 3/5.

Так как производная 3/5 положительна на всей области определения функции (так как коэффициент наклона положителен), то функция y = (3/5)x + 4 является возрастающей на всей своей области определения.

Таким образом, функция y = (3/5)x + 4 является возрастающей функцией.

Доказательство: Для доказательства возрастания функции на всей области определения, мы можем взять произвольные две точки x₁ и x₂, где x₁ < x₂, и показать, что y(x₁) < y(x₂).

Подставим x₁ и x₂ в функцию y = (3/5)x + 4:

y(x₁) = (3/5)x₁ + 4 y(x₂) = (3/5)x₂ + 4

Так как x₁ < x₂, то (3/5)x₁ < (3/5)x₂. Также, так как 4 является положительным числом, то (3/5)x₁ + 4 < (3/5)x₂ + 4.

Таким образом, получаем y(x₁) < y(x₂), что доказывает возрастание функции на всей области определения.

Поэтому функция y = (3/5)x + 4 является возрастающей функцией.