Question

Помогите пожалуйста решить уравнение 1 - cos6x = sin3x

Answer 1

$1-Cos6x=Sin3x\\\\1-(1-2Sin^{2}3x)=Sin3x\\\\1-1+2Sin^{2}3x=Sin3x\\\\2Sin^{2}3x-Sin3x=0\\\\Sin3x(2Sin3x-1)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}Sin3x=0\\2Sin3x-1=0\end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}Sin3x=0\\Sin3x=\frac{1}{2} \end{array}\right\\\\1)Sin3x=0\\\\3x=\pi n,n\in Z\\\\x=\frac{\pi n }{3},n\in Z$

$2)Sin3x=\frac{1}{2}\\\\3x=(-1)^{n}arcSin\frac{1}{2}+\pi n,n\in Z\\\\3x=(-1)^{n}\frac{\pi }{6}}+\pi n,n\in Z\\\\x=(-1)^{n}\frac{\pi }{18}+\frac{\pi n }{3},n\in Z$

Answer 2

Давайте решим уравнение 1 - cos(6x) = sin(3x) шаг за шагом.

1. Используя тригонометрические тождества, заменим sin(3x) на 1 - cos²(3x):

   1 - cos(6x) = 1 - cos²(3x)

2. Теперь у нас есть квадратное уравнение:

   cos²(3x) - cos(6x) = 0

3. Преобразуем квадратный косинус:

   cos²(3x) - (2cos²(3x) - 1) = 0

4. Раскроем скобки:

   cos²(3x) - 2cos²(3x) + 1 = 0

5. Объединим подобные слагаемые:

   -cos²(3x) + 1 = 0

6. Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:

   cos²(3x) - 1 = 0

7. Заменим cos²(3x) на 1 - sin²(3x):

   1 - sin²(3x) - 1 = 0

8. Упростим уравнение:

   -sin²(3x) = 0

9. Умножим обе части на -1:

   sin²(3x) = 0

10. Применим тождество sin²(θ) + cos²(θ) = 1:

    1 - cos²(3x) = 0

11. Заменим cos²(3x) на 1 - sin²(3x):

    1 - (1 - sin²(3x)) = 0

12. Упростим уравнение:

    1 - 1 + sin²(3x) = 0

    sin²(3x) = 0

13. Решим уравнение sin²(3x) = 0:

    sin(3x) = 0

14. Найдём значения x, при которых sin(3x) = 0:

    3x = 0, π, 2π, 3π, ...

    x = 0, π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3, ...

Таким образом, решениями исходного уравнения 1 - cos(6x) = sin(3x) являются x = 0, π/3, 2π/3, π, 4π/3, 5π/3, и т.д.