Question

Докажите,что: а) (a+b)(a+b+2c)=(a+b)(a+b+c)+ac+bc; б) a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).

Answer 1

Я смогла это решить. Всё правильно 100 процентов. Но мне кажется после такого мой мозг покинул череп и ушёл. 

Answer 2

а) Докажем равенство (a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+c) + ac + bc.

Раскроем скобки в левой части равенства: (a+b)(a+b+2c) = a(a+b+2c) + b(a+b+2c) = a^2 + ab + 2ac + ab + b^2 + 2bc = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc

Теперь раскроем скобки в правой части равенства: (a+b)(a+b+c) + ac + bc = (a+b)(a+b) + (a+b)c + ac + bc = a(a+b) + b(a+b) + ac + bc + (a+b)c + ac + bc = a^2 + ab + ab + b^2 + ac + bc + ac + bc + ac + bc = a^2 + 2ab + b^2 + 3ac + 3bc

Таким образом, мы видим, что левая и правая части равенства равны друг другу: (a+b)(a+b+2c) = (a+b)(a+b+c) + ac + bc a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc = a^2 + 2ab + b^2 + 3ac + 3bc

Мы успешно доказали равенство.

б) Докажем равенство a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).

Сначала раскроем скобки в правой части равенства: (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) = a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) = a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - a^2c + a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc + a^2c + bc^2 + c^3 - ac^2 - b^c - ac^2 - bc^2 = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

Таким образом, мы видим, что левая и правая части равенства равны друг другу: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

Мы успешно доказали равенство.