Question

Доказать что при всех значениях а верно неравенство: 1) (a+7)(a+1)<(a+2)(a+6)2) (3a-2)(a+2)<(1+2a)^2

Answer 1

1)а^2+а+7а+7-а^2-6а-2а-12<0( раскрыла скобки и перенесла в левую часть,теперь приведем слагаемые)
-5<0( при любом х)
2)3а^2+6а-2а-4-1-4а-4а^2<0;
-а^2-5<0;
-(а^2+5)<0;(при любом х)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности:

1. (a+7)(a+1) < (a+2)(a+6)

Раскроем скобки: a^2 + 8a + 7 < a^2 + 8a + 12

Заметим, что все слагаемые, кроме последних двух, сокращаются: 7 < 12

Так как данное неравенство выполняется для любого значения a, мы можем сказать, что данное утверждение верно при всех значениях a.

2. (3a-2)(a+2) < (1+2a)^2

Раскроем скобки и упростим выражение: 3a^2 + 6a - 2a - 4 < 1 + 4a + 4a + 4a^2

Упростим дальше: 3a^2 + 4a - 4 < 1 + 12a + 4a^2

Перенесем все слагаемые в одну сторону: 3a^2 - 4a^2 + 4a - 12a + 4 - 1 < 0

• a^2 - 8a + 3 < 0

Решим это квадратное неравенство. Поскольку коэффициент при a^2 отрицательный, нам нужно изменить направление неравенства при решении.

a^2 + 8a - 3 > 0

Факторизуем левую часть: (a + 9)(a - 1) > 0

Теперь рассмотрим знак выражения для различных интервалов значений a:

a < -9: Оба множителя отрицательные, поэтому произведение положительное. -9 < a < 1: Множитель (a + 9) положительный, а (a - 1) отрицательный, поэтому произведение отрицательное. a > 1: Оба множителя положительные, поэтому произведение положительное.

Таким образом, неравенство (3a-2)(a+2) < (1+2a)^2 выполняется для всех значений a, кроме интервала -9 < a < 1.

Итак, мы доказали, что первое неравенство верно для всех значений a, а второе неравенство выполняется для всех значений a, кроме интервала -9 < a < 1.