Question

Найдите все двузначные числа каждая натуральная степень которых оканчивается на 2 цифры составляющие первоначальное число с решением

Answer 1

Обозначим искомые числа через 10a+b. Тогда при возведении в квадрат по требованию задачи должны выполняться условия: b^2 должно быть числом, оканчивающимся на цифру b. Таких цифр четыре: 0, 1, 5 и 6. Пусть наше число оканчивается на 0. Тогда 2*a*b должно быть числом, оканчивающимся на a, но это невозможно, поскольку b=0. Пусть искомое число оканчивается на 1. Тогда 2*a*b должно быть числом, оканчивающимся на a, но это также невозможно, поскольку число 2*a может оканчиваться на цифру a только при a=0, но  a - первая цифра в нашем числе и a ≠ 0. Пусть теперь  наше число оканчивается на 5. Тогда должно выполняться условие: число 2*a*b+2 должно оканчиваться на a. Этому условию удовлетворяют a=2, b=5. Т. о. 25^2 = 625 оканчивается на 25. Поскольку последние две цифры в числе будут оставаться 2 и 5, то при возведении в любую натуральную степень соответствующие числа будут оканчиваться на 25. Поэтому число 25 нам подходит. Пусть искомое число оканчивается на 6. Тогда должно соблюдаться 2*a*b+3 должно оканчиваться на a. Т. к. b=6, то a*12+3 оканчивается на a. Отсюда находим, что a=7. Т. о. получаем второе число, которое также при возведении в любую натуральную степень будет оканчиваться на 76. Это единственные два двузначных числа, удовлетворяющие требованиям. 

Ответ: 25 и 76.

Answer 2

(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 = 100x + 10a + b
b^2 mod 10 = b
2ab mod 10 + b^2 div 10 = a

1. b^2 mod 10 = b -> b = 0, 1, 5
2. a = 2ab mod 10 + b^2 div 10
b = 0 -> a = 0 + 0 = 0
b = 1 -> a = 2a mod 10 + 0 -> a = 0
b = 5 -> a = 10a mod 10 + 2 = 2

--> Единственное решение: 25

Answer 3

Чтобы найти все двузначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на две цифры, составляющие первоначальное число, можно использовать перебор.

Перечислим все двузначные числа и их степени:

11^1 = 11 11^2 = 121 11^3 = 1331 11^4 = 14641 11^5 = 161051 11^6 = 1771561 11^7 = 19487171 11^8 = 214358881 11^9 = 2357947691 11^10 = 25937424601

Из этих чисел нам нужны только те, у которых последние две цифры совпадают с цифрами, составляющими первоначальное число (11). Таким образом, мы исключаем числа, оканчивающиеся на 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и оставляем только числа, оканчивающиеся на 11.

Итак, двузначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на две цифры, составляющие первоначальное число 11, это: 11, 121, 1331, 14641, 161051, 1771561, 19487171, 214358881, 2357947691, 25937424601.

Это полный список таких чисел.