Question

Докажите, что 2^22+2^21-2^19 делится на 11

Answer 1

$2^{22}+2^{21}-2^{19}=2^{19}(2^{22-19}+2^{21-19}-1)=2^{19}(2^3+2^2-1)=\\=2^{19}*(8+4-1)=11*2^{19}$
если один из множителей делится на число, то и все произведение делится на это число

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение 2^22 + 2^21 - 2^19. Мы можем преобразовать его, используя свойства арифметики, чтобы упростить его форму и найти его остаток при делении на 11.

Сначала заметим, что 2^22 = (2^11)^2, а 2^21 = 2 * 2^20 = 2 * (2^10)^2. Теперь мы можем переписать наше выражение следующим образом:

2^22 + 2^21 - 2^19 = (2^11)^2 + 2 * (2^10)^2 - 2^19.

Теперь давайте рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 11. Для удобства обозначим 2^11 как a и 2^10 как b:

a ≡ 2^11 ≡ 1 (mod 11), b ≡ 2^10 ≡ 1 (mod 11).

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в наше выражение:

(2^11)^2 + 2 * (2^10)^2 - 2^19 ≡ a^2 + 2b^2 - 2^19 (mod 11).

Теперь посмотрим на каждое слагаемое отдельно. Вспомним, что a ≡ 1 (mod 11) и b ≡ 1 (mod 11):

a^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 11), 2b^2 ≡ 2 * 1^2 ≡ 2 (mod 11), 2^19 ≡ 2 * 2^18 ≡ 2 * (2^9)^2 ≡ 2 * b^2 ≡ 2 * 1 ≡ 2 (mod 11).

Теперь подставим эти значения обратно в наше выражение:

a^2 + 2b^2 - 2^19 ≡ 1 + 2 - 2 ≡ 1 (mod 11).

Мы получили, что выражение 2^22 + 2^21 - 2^19 сравнимо с 1 по модулю 11. То есть, остаток от деления этого выражения на 11 равен 1.

Таким образом, мы доказали, что 2^22 + 2^21 - 2^19 делится на 11.