Question

Докажите что не существует такого рационального числа квадрат которого равен 7

Answer 1

Предположим, что оно существует!  Пусть это будет а/с  несократимая дробь.
Значит (а/с)² = 7
(а²) /(с²) =7
а² = с² * 7. В правой части выражение кратно 7, значит и в левой кратно 7. А это означает, что а кратно 7, т.е. а = 7к.
(7к)² с² * 7
49 к² = 7 с². Сократи на 7.
7 к² = с². Теперь в левой части число кратно 7, а значит и в правой тоже кратно 7. Значит с= 7п. Получается, что дробь а/с будет сократимой, что противоречит нашему предположению о том, что она несократимая.. Значит такой дроби не существует.

Answer 2

Для доказательства того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 7, мы можем воспользоваться методом от противного.

Предположим, что существует рациональное число (в виде дроби) вида p/q, где p и q являются целыми числами без общих делителей, и квадрат этого числа равен 7:

(p/q)^2 = 7.

Тогда мы можем возвести обе части равенства в квадрат:

p^2 = 7q^2.

Заметим, что это означает, что p^2 является нечетным числом, так как оно равно 7, умноженному на четное число q^2. Также заметим, что p^2 и q^2 имеют одинаковую четность, так как оба являются квадратами соответствующих чисел.

Теперь рассмотрим различные возможности для четности чисел p и q:

1. Если p и q оба нечетные, тогда p^2 и q^2 также должны быть нечетными. Однако, как уже отмечено, p^2 является четным числом (7, умноженное на четное число q^2), что противоречит нашему предположению.

2. Если p и q оба четные, тогда p^2 и q^2 также должны быть четными. Однако, поскольку 7 не является квадратом четного числа, это противоречит нашему предположению.

3. Если p нечетное, а q четное, тогда p^2 должно быть нечетным, а q^2 должно быть четным. Опять же, это противоречит нашему предположению.

Таким образом, в каждом из трех случаев мы приходим к противоречию. Это означает, что исходное предположение о существовании рационального числа, квадрат которого равен 7, неверно.

Следовательно, мы можем заключить, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 7.