Question

Как решить cos(2x) = -cos(5x) ? И почему, если перенести правую часть к левой, приравняв к нулю, и воспользоваться формулой cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2).... то получится иной ответ?

Answer 1

Решила двумя способами. Ответы совпадают. 

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) = -cos(5x) можно применить тригонометрические тождества и методы решения тригонометрических уравнений. Воспользуемся тождеством cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2).

Исходное уравнение: cos(2x) + cos(5x) = 0.

Можем применить тождество: cos(2x) + cos(5x) = 2cos((2x + 5x)/2)cos((5x - 2x)/2).

Упрощаем: cos(2x) + cos(5x) = 2cos(7x/2)cos(3x/2).

Теперь приравниваем к нулю: 2cos(7x/2)cos(3x/2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю. Это дает два возможных случая:

1. cos(7x/2) = 0. Это означает, что 7x/2 = (2n + 1)π/2, где n - целое число. Решая уравнение, получаем: x = [(2n + 1)π/2] * 2/7.

2. cos(3x/2) = 0. Это означает, что 3x/2 = (2n + 1)π/2, где n - целое число. Решая уравнение, получаем: x = [(2n + 1)π/2] * 2/3.

Таким образом, общие решения уравнения cos(2x) = -cos(5x) имеют вид: x = [(2n + 1)π/2] * 2/7 и x = [(2n + 1)π/2] * 2/3, где n - целое число.

Относительно вашего второго вопроса, когда вы переносите правую часть к левой и приравниваете к нулю, у вас получится уравнение cos(2x) + cos(5x) = 0. Если вы примените формулу cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) к этому уравнению, вы получите следующее:

2cos((2x + 5x)/2)cos((5x - 2x)/2) = 0.

Упрощая выражение, получим: 2cos(7x/2)cos(3x/2) = 0.

Таким образом, это уравнение приводит к тому же результату, что и ранее описанный метод решения. Вы можете использовать любой из этих подходов для нахождения решений уравнения cos