Question

Чему равен корень уравнения 3 sinx +4 cosx=5​

Answer 1

Используя формулу дополнительного угла, получим

$5\sin\left(x+\arcsin\dfrac{4}{5}\right)=5\\ \\ \sin\left(x+\arcsin\dfrac{4}{5}\right)=1\\ \\ x+\arcsin\dfrac{4}{5}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin\dfrac{4}{5}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала нужно преобразовать его с использованием тригонометрических тождеств. Мы знаем, что $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Умножим данное уравнение на $\frac{3}{5}$, чтобы получить коэффициент при синусе равным 1:

$\frac{3}{5} \cdot (3\sin(x) + 4\cos(x)) = \frac{3}{5} \cdot 5$

После раскрытия скобок получим:

$3\sin(x) + \frac{12}{5}\cos(x) = 3$

Теперь представим правую часть уравнения в виде:

$\sqrt{3^2 + \left(\frac{12}{5}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{225 + 144}{25}} = \sqrt{\frac{369}{25}} = \frac{\sqrt{369}}{5}$

Таким образом, корень уравнения $3\sin(x) + 4\cos(x) = 5$ равен $\frac{\sqrt{369}}{5}$.