Question

При каких значениях параметра p неравенство px^2+(2p-3)x+(p+3)>0 верно при всех значениях x

Answer 1

Неравенство имеет решение для всех х, если $p\ \textgreater \ 0$ и $D\ \textless \ 0$, т.е. Вычислив дискриминант, получим $D=(2p-3)^2-4p(p+3)=4p^2-12p+9-4p^3-12p=-24p+9$. Тогда $-24p+9\ \textless \ 0;\,\,\,\,\, -24p\ \textless \ -9$  откуда  $p\ \textgreater \ \dfrac{9}{24}$. С учетом того, что $p\ \textgreater \ 0$, то общее решение будет $p\ \textgreater \ \dfrac{9}{24}$

Итак, при $p\in \bigg(\dfrac{9}{24} ;+\infty\bigg)$ неравенство верно для всех х.

Ответ: $p \in\bigg(\dfrac{9}{24} ;+\infty\bigg)$