Question

Материальная точка массой 6,9 г колеблется гармонически. Амплитуда колебаний равна 94 мм, частота 2,2 Гц. Найти силу, действующую на точку, и кинетическую энергию тела в тот момент, когда его ускорение равно половине амплитудного значения.

Answer 1

Для решения задачи нам потребуется использовать формулы, связанные с гармоническими колебаниями.

1. Начнем с вычисления угловой частоты (или круговой частоты) \(\omega\):

\[ \omega = 2\pi f \]

где \(f\) - частота колебаний. Подставим значение частоты:

\[ \omega = 2\pi \times 2.2\, \text{Гц} \approx 13.82\, \text{рад/с} \]

2. Теперь мы можем найти амплитуду ускорения \(a\) в момент времени, когда ускорение равно половине амплитудного значения:

\[ a = \omega^2 A \]

где \(A\) - амплитуда колебаний. Подставим значения:

\[ a = (13.82\, \text{рад/с})^2 \times 0.094\, \text{м} \approx 17.43\, \text{м/с}^2 \]

3. Теперь мы можем найти силу \(F\), действующую на точку массой \(m\), используя второй закон Ньютона:

\[ F = m \cdot a \]

Подставим значения:

\[ F = (0.0069\, \text{кг}) \times (17.43\, \text{м/с}^2) \approx 0.120\, \text{Н} \]

Таким образом, сила, действующая на точку, составляет приблизительно \(0.120\, \text{Н}\).

4. Далее, найдем кинетическую энергию \(K\) тела в момент времени, когда его ускорение равно половине амплитудного значения. Кинетическая энергия может быть выражена как:

\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]

где \(v\) - скорость. Мы знаем, что \(a = \frac{dv}{dt}\), поэтому можно записать:

\[ v = \int a \, dt \]

Интегрируя ускорение по времени, мы получим скорость. Однако, для данной задачи, нам этот шаг не понадобится, так как у нас уже есть значение ускорения.

Таким образом, мы можем использовать формулу для кинетической энергии:

\[ K = \frac{1}{2} m a^2 \]

Подставим значения:

\[ K = \frac{1}{2} \times 0.0069\, \text{кг} \times (17.43\, \text{м/с}^2)^2 \approx 0.120\, \text{Дж} \]

Таким образом, кинетическая энергия тела в момент времени, когда его ускорение равно половине амплитудного значения, составляет приблизительно \(0.120\, \text{Дж}\).