Question

Докажите, что при перестановке двух аргументов в числителе, или знаменателе якобиана, якобиан меняет знак. Помогите, пожалуйста

Answer 1

Конечно, давайте рассмотрим якобиан функций двух переменных. Якобиан является определителем матрицы частных производных. Пусть у нас есть функции \(u = f(x, y)\) и \(v = g(x, y)\), и рассмотрим их якобиан:

\[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} \]

Если мы поменяем местами аргументы в числителе или знаменателе якобиана, это будет эквивалентно перестановке строк или столбцов в матрице якобиана.

При перестановке двух строк или столбцов в определителе меняется знак. Это связано с четностью перестановок. Если сделать одну перестановку, знак определителя меняется на противоположный.

Таким образом, если мы поменяем две строки или два столбца в матрице якобиана, мы изменяем знак определителя, то есть меняем знак якобиана.

Если нужно подробнее или есть еще вопросы, я готов помочь!