Question

Груз массой 10 г подвешен на пружине жесткостью 1 Н/м. Найти максимальную скорость груза, если полная энергия колебаний равна 0,1 Дж. Ответ выразите в см/с

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии. Полная энергия колебаний (потенциальная энергия пружины + кинетическая энергия груза) остается постоянной в течение всего процесса.

Полная энергия колебаний (E) равна сумме потенциальной энергии пружины (U) и кинетической энергии груза (K):

\[ E = U + K \]

Потенциальная энергия пружины (U) выражается формулой:

\[ U = \frac{1}{2}kx^2 \]

где: - \( k \) - жесткость пружины (в данном случае, 1 Н/м), - \( x \) - смещение от положения равновесия.

Кинетическая энергия груза (K) выражается формулой:

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

где: - \( m \) - масса груза (в данном случае, 10 г, что равно 0,01 кг), - \( v \) - скорость груза.

Для нахождения максимальной скорости груза, нужно выразить скорость (\( v \)) через смещение (\( x \)). Для этого используем закон сохранения энергии:

\[ E = U + K \]

\[ \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = E \]

Подставим известные значения и решим уравнение:

\[ \frac{1}{2}(1\, \text{Н/м})x^2 + \frac{1}{2}(0.01\, \text{кг})v^2 = 0.1\, \text{Дж} \]

Упростим уравнение:

\[ 0.5x^2 + 0.005v^2 = 0.1 \]

\[ x^2 + 0.01v^2 = 0.2 \]

Теперь, найдем выражение для скорости (\( v \)):

\[ 0.01v^2 = 0.2 - x^2 \]

\[ v^2 = 20 - 100x^2 \]

\[ v = \sqrt{20 - 100x^2} \]

Максимальная скорость достигается, когда груз проходит через положение равновесия, то есть, когда \( x = 0 \). Таким образом, максимальная скорость (\( v_{\text{max}} \)) будет:

\[ v_{\text{max}} = \sqrt{20} \]

\[ v_{\text{max}} \approx 4.47 \, \text{м/с} \]

Теперь, чтобы перевести ответ в см/с, умножим его на 100:

\[ v_{\text{max}} \approx 447 \, \text{см/с} \]

Таким образом, максимальная скорость груза при колебаниях равна примерно 447 см/с.