Question

До какого уровня нужно налить жидкость в цилиндрическую посудину, диаметр дна которой равный 20 см, что бы сила гидростатического давления на дно посудины была в два раза больше силы гидростатического давления на боковую стенку?

Answer 1

Гидростатическое давление в жидкости определяется формулой \( P = \rho \cdot g \cdot h \), где: - \( P \) - гидростатическое давление, - \( \rho \) - плотность жидкости, - \( g \) - ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с² на поверхности Земли), - \( h \) - высота столба жидкости.

Для цилиндрической посудины формула для гидростатического давления на дно выглядит так: \( P_{\text{дно}} = \rho \cdot g \cdot h_{\text{дно}} \), где \( h_{\text{дно}} \) - высота столба жидкости от дна до поверхности.

Для гидростатического давления на боковую стенку цилиндра формула будет выглядеть так: \( P_{\text{бок}} = \rho \cdot g \cdot h_{\text{бок}} \), где \( h_{\text{бок}} \) - высота столба жидкости от боковой стенки до поверхности.

Так как дно и боковая стенка находятся на одном уровне поверхности жидкости, то \( h_{\text{дно}} = h_{\text{бок}} \). Теперь условие задачи гласит, что сила гидростатического давления на дно должна быть в два раза больше, чем на боковую стенку, то есть \( P_{\text{дно}} = 2 \cdot P_{\text{бок}} \).

Сравнивая формулы и заменяя высоту \( h_{\text{дно}} = h_{\text{бок}} \), получаем:

\[ \rho \cdot g \cdot h_{\text{дно}} = 2 \cdot \rho \cdot g \cdot h_{\text{бок}} \]

Сокращаем обе стороны на \( \rho \cdot g \cdot h_{\text{бок}} \):

\[ h_{\text{дно}} = 2 \cdot h_{\text{бок}} \]

Теперь у нас есть отношение высоты столба жидкости на дне к высоте столба на боковой стенке. Для цилиндра отношение высоты к диаметру равно 2 (половина высоты), поэтому можно записать:

\[ h_{\text{дно}} = 2 \cdot h_{\text{бок}} = 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right) \]

Где \( d \) - диаметр дна цилиндрической посудины. Подставим значение \( d = 20 \) см:

\[ h_{\text{дно}} = 2 \cdot \left(\frac{20}{2}\right) = 2 \cdot 10 = 20 \, \text{см} \]

Таким образом, чтобы сила гидростатического давления на дно посудины была в два раза больше, чем на боковую стенку, нужно налить жидкость в посудину до уровня, находящегося на высоте 20 см от дна.