Question

Модель планера летит горизонтально с постоянной скоростью u0. В нее бросают камень со скоростью v так, что в момент броска скорость камня направлена на планер под углом a к горизонту. На какой высоте h летел планер, если камень попал в него?

Answer 1

Установим начало координат в точке, из которой бросают камень, и на высоте h от которой в начальный момент времени летит планер

если L - координата встречи планера и камня по оси OX, а h - по OY, то уравнения координат будут иметь вид:

планер: L = u0 t (вдоль оси OY он не движется)
камень: L = v cosα t,  h = v sinα t - (g t²)/2

определим время встречи планера и камня, решив квадратное уравнение относительно t (смотри на второе уравнение для камня):

-0.5 gt² + v sinα t - h = 0

t(1,2) = (-v sinα +- √(v² sin²α - 2gh))/(-g)

вариант с плюсом нам не подходит (в рамках задачи время не может быть отрицательным). поэтому:

t = (v sinα + √(v² sin²α - 2gh))/g

по определению тангенс угла наклона к горизонтали - это отношение высоты к длине полета L: tgα = h/L

следовательно, высота встречи h = L tgα = u0 t tgα = u0 tgα ((v sinα + √(v² sin²α - 2gh))/g)

немного упростим: h = ((u0 tgα)/g) * (v sinα + √(v² sin²α - 2gh))

раскрываем скобки: h = (u0 tgα v sinα + u0 tgα √(v² sin²α - 2gh))/g

u0 tgα v sinα + u0 tgα √(v² sin²α - 2gh) = gh

u0 tgα √(v² sin²α - 2gh) = gh - u0 tgα v sinα

возводим обе части в квадрат:

u0² tg²α v² sin²α - u0² tg²α 2gh = g²h² - 2 u0 tgα v sinα gh + u0² tg²α v² sinα

h² g² - 2gh u0 tgα (v sinα + u0 tgα) = 0

h (g²h - 2g u0 tgα (v sinα + u0 tgα)) = 0

произведение двух чисел равно нулю тогда, когда одно из них равно нулю, т.е. первый корень h1 = 0 - не подходит, второй корень:

g²h - 2g u0 tgα (v sinα + u0 tgα) = 0

h = (2 u0 tgα (v sinα + u0 tgα)/g