Question

Помогите пожалуйста решить задачу не могу разобраться. Найти изменение ускорения свободного падения при опускания тела на глубину h. На какой глубине эта величина составляет 25% ускорение свободного падения на поверхности Земли? Плотность Земли считать постоянной. Указания. Учесть, что тело, которое находится на глубине под поверхностью Земле, не испытывает со стороны вышележащих слоев никакого притяжения, так как притяжения от отдельных частей слоя взаимно компенсируются. (Считать применимой теорему Гаусса-Остроградского к гравитационного взаимодействия).

Answer 1

Покажем, что ускорение силы тяжести в колодце глубиной h спадает по закону
g = g₀(R-h)/R
где
g₀ = 9.8 м с⁻² = GM/R² - ускорение силы тяжести близ поверхности Земли
G - гравитационная постоянная
М - масса Земли
R = 6 371 000 м - средний радиус Земли
h - глубина колодца
Здесь и далее силой Кориолиса пренебрегаем.

Поскольку притяжение со стороны шарового слоя толщиной, равной глубине колодца, равно нулю, остаётся влияние сферы радиусом
(R-h)
и массой
M' = (4/3)пρ(R - h)³ - при допущении постоянства плотности ρ

Тогда
g = G(4/3)пρ(R - h)³/(R - h)² = 4Gпρ(R - h)/3.
Поскольку
4пρR³/3 = M
то
4пρ/3 = M/R³.

Таким образом,
g = 4Gпρ(R - h)/3 = GM(R - h)/R³
и так как
GM/R² = g₀
получаем
g = g₀(R - h)/R.
Это похоже на правду, поскольку при h = 0 последнее равенство переходит в g = g₀

Итак, g = g₀(R-h)/R
Тогда
g₀/4 = g₀(R-h₀)/R
откуда
h₀ = 0.75R = 4778250 м (4778 км)