Question

Период вращения спутника по круговой орбите вокруг Земли 240 мин. Определите высоту орбиты спутника над поверхностью Земли.

Answer 1

Период вращения спутника по круговой орбите вокруг Земли 240 мин. Определите высоту орбиты спутника над поверхностью Земли.
T=240 мин = 240*60 сек
f=1/T
w=2*pi*f = 2*pi / T
a=w^2*(Rз+h) = GM/(Rз+h)^2 = GM/Rз^2 *Rз^2/(Rз+h)^2 = g*Rз^2/(Rз+h)^2
w^2*(Rз+h) =g*Rз^2/(Rз+h)^2
(Rз+h)^3 = g*Rз^2/w^2
(Rз+h) = (g*Rз^2/w^2)^(1/3)
h= (g*Rз^2/w^2)^(1/3) - Rз = (g*Rз^2/(2*pi/T)^2)^(1/3) - Rз = (9,81*6370000^2/(2*pi/(240*60))^2)^(1/3) - 6370000 м = 6417069,918 м ~ 6 417 км - это ответ

Answer 2

Период вращения спутника вокруг Земли связан с его высотой над поверхностью Земли через законы Кеплера и законы гравитации. Для определения высоты орбиты спутника можно воспользоваться следующей формулой, которая выражает зависимость между периодом вращения спутника, гравитационной постоянной, массой Земли и высотой орбиты:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}} \]

где: - \( T \) - период вращения спутника в секундах, - \( G \) - гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \ \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)), - \( M \) - масса Земли (\(5.972 \times 10^{24} \ \text{кг}\)), - \( a \) - полуось орбиты, которую мы ищем.

В данном случае период вращения \( T = 240 \ \text{мин}\), что равно \(240 \times 60 = 14400 \ \text{секунд}\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \( a \):

\[ 14400 = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})}} \]

Переупорядочим уравнение и решим его:

\[ a^3 = \left( \frac{14400 \times (6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})}{2\pi} \right)^2 \]

\[ a = \sqrt[3]{\left( \frac{14400 \times (6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})}{2\pi} \right)^2} \]

Подсчитаем это значение:

\[ a \approx 4.22 \times 10^7 \ \text{м} \]

Таким образом, высота орбиты спутника над поверхностью Земли составляет примерно \(4.22 \times 10^7 \ \text{м}\).