Question

Шар в одном случае соскальзывает без вращения, в другом — скатывается с наклонной плоскости с высоты 2 м. Определить значения скорости в конце спуска в двух случаях. Трением пренебречь.

Answer 1

В обоих случаях потенциальная энергия шара будет переходить в кинетическую энергию его движения. В первом случае всё просто:
mgh = mv²/2 ⇒ v = √(2gh), где m - масса шара, g - ускорение свободного падения, h - высота, с которой скатился шар, ну а v - скорость шара.

Во втором случае кинетическая энергия шара будет складываться из энергии его поступательного движения и энергии его вращательного движения.
T = Eпост + Eвращ
Кинетическую энергию вращательного движения тела рассчитывают по формуле:
Eвращ = Iω² / 2 
Здесь ω - угловая частота вращения тела, а I - момент инерции тела. Для шара момент инерции определяется по формуле:
I = 2mr² / 5 где m - масса шара, r - его радиус.
Теперь надо учесть, что ω = v / r , где v - скорость поступательного движения шара.
Тогда, подставив весь этот винегрет в формулу получим:
Eвращ = (2mr² / 5) · (v / r)² : 2 = mv² / 5
Энергия поступательного движения определяется просто:
Eпост = mv² / 2
Общая кинетическая энергия будет равна:
T = mv² / 2 + mv²/5 = 0,7mv²
Далее из условия перехода потенциальной энергии в кинетическую получаем:
mgh = 0,7mv² ⇒ v = √(gh / 0,7)

Ответ:
1) v = √(2gh)
2) v = √(gh / 0,7)