Question

Тело совершает на невесомой идеальной пружине гармонические колебания x(t) =Asin(ωt+ϕ0) . Доказать, что для произвольного мо- мента времени выполняется соотношение К(t)/Km+a^2(t)/am=1 где K(t) a(t)— кинетическая энергия и ускорение тела в момент вре- мени t; Km am , — их максимальные значения.

Answer 1

Уравнение колебаний:
x(t)=A·sin(ωt+φ₀)
Скорость - первая производная от координаты:
v(t) = A·ω·cos(ωt+φ₀)
Максимальное значение скорости:
Vm = A·ω
Максимальная кинетическая энергия:
Em = m*(Vm)² /2 = m*A²*ω² /2
Кинетическая энергия:
K(t) = m*A²*ω²*cos²(ωt+φ₀)/2

Находим отношение:
K(t)/Km = cos²(ωt+φ₀)

Далее:
Ускорение - это производная от скорости:
a(t) = - A·ω²·sin (ωt+φ₀)
Максимальное значение ускорения:
am = A·ω²
Модуль отношения
a²(t) / am² = sin² (ωt+φ₀)

Имеем:
cos² (ωt+φ₀)+sin² (ωt+φ₀)=1

(ЗАМЕЧАНИЕ - в условии задачи пропущен в соотношении показатель степени у am !)