Question

Движение свободнопадающего тела массой 1 кг заданного уравнением y=8+12t-5t² определите механическую энергию тела в начальный момент времени, а также его кинетическую и потенциальную энергию через Δt=1 после начала движения.

Answer 1

===================================================================================================================

Answer 2

У вас дано уравнение зависимости координаты \(y\) от времени \(t\) для свободнопадающего тела: \(y = 8 + 12t - 5t^2\). Чтобы определить механическую энергию, кинетическую и потенциальную энергию тела в начальный момент времени и через \(\Delta t = 1\) после начала движения, давайте разберёмся.

Сначала нужно выразить скорость и ускорение через функцию \(y(t)\). Первая производная \(y(t)\) по времени даст скорость \(v(t)\), а вторая производная даст ускорение \(a(t)\):

\[y(t) = 8 + 12t - 5t^2\]

Вычислим первую производную, чтобы получить скорость:

\[\frac{dy}{dt} = v(t) = \frac{d}{dt}(8 + 12t - 5t^2)\] \[\frac{dy}{dt} = v(t) = 12 - 10t\]

Теперь найдём вторую производную, чтобы получить ускорение:

\[\frac{d^2y}{dt^2} = a(t) = \frac{d}{dt}(12 - 10t)\] \[\frac{d^2y}{dt^2} = a(t) = -10\]

Таким образом, скорость \(v(t)\) равна \(12 - 10t\) и ускорение \(a(t)\) постоянное и равно \(-10\).

В начальный момент времени:

При \(t = 0\): - Координата \(y(0) = 8 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 = 8\) м. - Скорость \(v(0) = 12 - 10 \cdot 0 = 12\) м/с. - Кинетическая энергия \(K(0) = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 12^2 = 72\) Дж. - Потенциальная энергия \(P(0) = mgh = 1 \cdot 9.81 \cdot 8 = 78.48\) Дж (возьмём ускорение свободного падения \(g = 9.81\) м/с²).

Через \(\Delta t = 1\) после начала движения:

При \(t = 1\): - Координата \(y(1) = 8 + 12 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 15\) м. - Скорость \(v(1) = 12 - 10 \cdot 1 = 2\) м/с. - Кинетическая энергия \(K(1) = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2^2 = 2\) Дж. - Потенциальная энергия \(P(1) = mgh = 1 \cdot 9.81 \cdot 15 = 147.15\) Дж.

Таким образом, в начальный момент времени механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии: \(E(0) = K(0) + P(0) = 72 + 78.48 = 150.48\) Дж. Через \(\Delta t = 1\) механическая энергия \(E(1) = K(1) + P(1) = 2 + 147.15 = 149.15\) Дж.