Question

Даны кинематические уравнения движения некоторой точки по окружности: S=2t (м) и φ=5t (рад). Каковы линейная скорость, угловая скорость данной точки, период её обращения. На каком расстоянии от оси вращения находится данная точка?

Answer 1

Линейная скорость есть первая производная координаты по времени.
V = 2 м/с
Угловая скорость есть первая производная угла по времени.
w = 5 рад/с
Период есть отношение длины всей окружности (2π радиан) к угловой скорости.
T = 2π/w = 0.4π с

Answer 2

Даны следующие кинематические уравнения движения точки по окружности:

1. \(S = 2t\) (где \(S\) - длина дуги, пройденной точкой, а \(t\) - время). 2. \(\phi = 5t\) (где \(\phi\) - угол поворота точки в радианах, а \(t\) - время).

Чтобы найти линейную скорость (\(v\)), угловую скорость (\(\omega\)), период обращения (\(T\)) и расстояние от оси вращения (\(r\)), давайте воспользуемся соответствующими формулами.

1. Линейная скорость (\(v\)) определяется как производная длины дуги по времени:

\[v = \frac{dS}{dt}\]

В данном случае \(S = 2t\), поэтому \(\frac{dS}{dt} = 2\). Таким образом, линейная скорость постоянна и равна \(2 \ м/с\).

2. Угловая скорость (\(\omega\)) связана с линейной скоростью формулой:

\[\omega = \frac{v}{r}\]

Где \(r\) - радиус окружности. Так как линейная скорость \(v\) постоянна (2 м/с), угловая скорость также будет постоянной и равной \(\omega = \frac{2}{r} \ рад/с\).

3. Период обращения (\(T\)) связан с угловой скоростью следующим образом:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Подставим значение \(\omega = \frac{2}{r}\):

\[T = \frac{2\pi}{\frac{2}{r}} = \pi \cdot r \ сек\]

Таким образом, период обращения точки по окружности равен \(\pi \cdot r\) секунд.

4. Расстояние от оси вращения (\(r\)) можно найти из уравнения длины дуги:

\[S = r \cdot \phi\]

Подставим значение \(\phi = 5t\) и \(S = 2t\):

\[2t = r \cdot 5t\]

Решая уравнение, получаем \(r = \frac{2}{5} \ м\).

Итак, результаты:

- Линейная скорость (\(v\)): \(2 \ м/с\). - Угловая скорость (\(\omega\)): \(\frac{2}{r} \ рад/с\). - Период обращения (\(T\)): \(\pi \cdot r \ сек\). - Расстояние от оси вращения (\(r\)): \(\frac{2}{5} \ м\).