Question

Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках A, B, C, зарегистрировали последовательно в моменты времени tA > tB > tC звук от взрыва, который произошел в точке O, лежащей на отрезке AC. Найдите отрезок AO, если AB = BC = L. В какой момент времени произошел взрыв?

Answer 1

Точка О располагается между точками В и С ближе к т. С - это следует из времен, данных в условии.

Пусть t0 - время взрыва. v - скорость распространения звуковой волны.

АО = v(tA - t0)

BO = v(tB - t0)

OC = v(tC - t0)

AO - BO = L

BO + OC = L

Вычитая из первого уравнения второе, получим значение для скорости:

L = v(tA - tB)     v = L/(tA - tB)                                                (1)

Складывая второе и третье, получим соотношение для t0:

v(tB + tC - 2t0) = L     tA - tB = tB + tC - 2t0

t0 = (2tB + tC - tA)/2                                                              (2)

Подставив (1) и (2) в первое уравнение, найдем АО:

АО = $\frac{L}{t_{a}-t_{b}}*(t_{a}-\frac{2t_{b}+t_{c}-t_{a}}{2})=\ L*\frac{3t_{a}-2t_{b}-t_{c}}{2(t_{a}-t_{b})}.$

Ответ: $AO\ =\ L*\frac{3t_{a}-2t_{b}-t_{c}}{2(t_{a}-t_{b})},\ \ \ \ t_{o}\ =\ \frac{2t_{b}+t_{c}-t_{a}}{2}.$

 

Answer 2

Пусть \( x \) - расстояние от точки \( A \) до точки \( O \) (то есть отрезок \( AO \)). Также, обозначим скорость звука в воздухе через \( v \).

Так как звук от взрыва пришел в точку \( A \) раньше, чем в точку \( B \), разность времени между приходом звука в точки \( A \) и \( B \) равна:

\[ t_A - t_B = \frac{OA}{v} \]

Аналогично, разность времени между приходом звука в точки \( B \) и \( C \) равна:

\[ t_B - t_C = \frac{OB}{v} \]

Учитывая, что \( AB = BC = L \), можем записать:

\[ \frac{OA}{v} = t_A - t_B, \quad \frac{OB}{v} = t_B - t_C \]

Также, из условия \( t_A > t_B > t_C \), получаем, что разности \( t_A - t_B \) и \( t_B - t_C \) положительны.

Теперь подставим выражения для \( OA \) и \( OB \):

\[ \frac{x}{v} = t_A - t_B, \quad \frac{L - x}{v} = t_B - t_C \]

Умножим оба уравнения на \( v \):

\[ x = v(t_A - t_B), \quad L - x = v(t_B - t_C) \]

Теперь сложим эти уравнения:

\[ x + L - x = v(t_A - t_B + t_B - t_C) \]

Упростим:

\[ L = v(t_A - t_C) \]

Теперь выразим \( x \):

\[ x = L - v(t_A - t_B) = L - v(t_B - t_C) \]

Так как \( t_B - t_C > 0 \) (звук пришел в точку \( C \) позже, чем в точку \( B \)), то \( x < L \). Получается, что точка \( O \) лежит между \( A \) и \( C \) на отрезке \( AC \).

Таким образом, мы нашли расстояние \( x \) и можем использовать его, чтобы найти \( t_A - t_B \) или \( t_B - t_C \), что даст нам момент времени, когда произошел взрыв.