Question

На гладком горизонтальном столе расположены вдоль одной прямой шарики, массы которых составляют m, M, 2M. Шарик массой m приводится в движение и налетает на шарик массой M, и происходит абсолютно упругий центральный удар. При каком максимальном соотношении m/M в системе произойдет еще ровно один удар?

Answer 1

Общая формула для центрального упругого столкновения 2 тел
m1v1+m2v2=m1u1+m2u2
m1v1^2/2+m2v2^2=m1u1^2/2+m2u2^2/2
u1=((m1-m2)v1+2m2v2)/(m1+m2)
u2=((m2-m1)v2+2m1v1)/(m1+m2)
*********************************
в нашем случае происходит 2 удара
*********************************
удар 1
mv+M*0=mu1+Mu2
mv^2/2+M*0=mu1^2/2+Mu2^2/2
u1=v1*(m-M)/(m+M)
u2=v1(2m)/(m+M)
*****************
удар 2
Mu2+M*0=Mu3+2Mu4
Mu2^2/2+M*0=Mu3^2/2+2Mu4^2/2
u3=u2*(M-2M)/(M+2M)=-u2/3=-v1(2m)/((m+M)*3)
u4=u2(2M)/(M+2M)=2u2/3
*****************
ударов будет только 2 если u3>=u1
-v1(2m)/((m+M)*3) >= v1*(m-M)/(m+M)
-(2m)/3 >= (m-M)
-2m >= 3m-3M
3M >= 5m
m/M<=3/5
ответ при m/M=3/5

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. После удара шарика массой \( m \) о шарик массой \( M \), они обмениваются скоростями. Пусть \( v_1 \) - скорость маленького шарика после удара, \( v_2 \) - скорость большого шарика после удара.

Используем законы сохранения импульса и кинетической энергии.

1. Сохранение импульса: \[ m \cdot v_{1i} + M \cdot v_{2i} = m \cdot v_{1f} + M \cdot v_{2f} \]

2. Сохранение кинетической энергии: \[ \frac{1}{2} m \cdot v_{1i}^2 + \frac{1}{2} M \cdot v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m \cdot v_{1f}^2 + \frac{1}{2} M \cdot v_{2f}^2 \]

Где индексы \( i \) и \( f \) обозначают начальные и конечные значения соответствующих величин.

Также, так как удар абсолютно упругий, мы можем использовать следующее соотношение для отношения скоростей после удара: \[ \frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{1i} - v_{2i}} = -\frac{m}{M} \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. После решения мы получим, что \[ \frac{m}{M} = \frac{3}{7} \]

Таким образом, максимальное соотношение \( \frac{m}{M} \) в системе, при котором произойдет еще ровно один удар, равно \( \frac{3}{7} \).