Question

Две частицы двигались навстречу друг другу и столкнулись испытав упругий удар . Найти скорости частиц после столкновения если до столкновения их скорости равны 2 м/с и5 м/с а массы 1 и 2 кг

Answer 1

После соударения шары будут двигаться в сторону шара с большим импульсом. обозначим скорость 1 шара массой m за v1, скорость 2 шара массой 2m за v2. их скорости после соударения пометим штрихами

по закону сохранения импульса: 2mv2 - mv1 = mv1' + 2mv2'
по закону сохранения энергии: (2mv2²)/2 + (mv1²)/2 = (mv1'²)/2 + (2mv2'²)/2

сократим ЗСИ на массу, а ЗСЭ также на двойку

2v2 - v1 = v1' + 2v2' (!)
2v2² + v1² = v1'² + 2v2'²

перепишем в виде

2v2 - 2v2' = v1' + v1
2v2² - 2v2'² = v1'² - v1²

разделим второе уравнение на первое

v2 + v2' = v1' - v1 (!!)

выражаем из уравнений (!) и (!!) v2'

v2' = v1' - v1 - v2
v2' = (2v2 - v1 - v1')/2

приравниваем

2v1' - 2v1 - 2v2 = 2v2 - v1 - v1'

3v1' = 4v2 + v1

v1' = (4v2 + v1)/3

тогда скорость второго шара после соударения равна

v2' = (4v2 + v1)/3 - v1 - v2 = (4v2 + v1 - 3v1 - 3v2)/3 = (v2 - 2v1)/3

считаем

v1' = (4*5 + 2)/3 ≈ 7.4 м/c
v2' = (5 - 2*2)/3 ≈ 0.4 м/c

Answer 2

Используем законы сохранения импульса и энергии для решения этой задачи. Пусть v1 и v2 - скорости частиц после столкновения, m1 и m2 - их массы, u1 и u2 - их скорости до столкновения.

Сначала найдем скорость центра масс системы частиц до и после столкновения: До столкновения: V = (m1*u1 + m2*u2)/(m1 + m2) = (1*2 + 2*5)/(1 + 2) = (2 + 10)/3 = 4 м/с После столкновения: V = (m1*v1 + m2*v2)/(m1 + m2)

Теперь применим законы сохранения импульса и энергии: 1. Закон сохранения импульса: m1*u1 + m2*u2 = m1*v1 + m2*v2 2. Закон сохранения энергии: (1/2)*m1*u1^2 + (1/2)*m2*u2^2 = (1/2)*m1*v1^2 + (1/2)*m2*v2^2

Подставим известные значения: 1. 1*2 + 2*5 = 1*v1 + 2*v2 2. (1/2)*1*2^2 + (1/2)*2*5^2 = (1/2)*1*v1^2 + (1/2)*2*v2^2 1 + 25 = (1/2)*v1^2 + 2*v2^2 26 = (1/2)*v1^2 + 2*v2^2

Решим систему уравнений: 1. v1 = 2 + 2v2 2. 26 = (1/2)*(2 + 2v2)^2 + 2v2^2 26 = (1/2)*(4 + 8v2 + 4v2^2) + 2v2^2 52 = 4 + 8v2 + 4v2^2 + 4v2^2 0 = 8v2^2 + 8v2 - 48 0 = v2^2 + v2 - 6 0 = (v2 + 3)(v2 - 2)

Отсюда получаем два возможных значения v2: -3 и 2. Очевидно, что скорость не может быть отрицательной, поэтому v2 = 2 м/с. Теперь найдем v1: v1 = 2 + 2*2 v1 = 6 м/с

Таким образом, скорости частиц после столкновения равны 6 м/с и 2 м/с.