Question

Из среды с показателем преломления n(0) в неоднородную среду с показателем преломления n=n(0)√(1-γ/H) под углом φ(0) падает луч света. На какую максимальную глубину сможет проникнуть луч? n(0)=1,4, H=20 м , φ(0)=30°.

Answer 1

Для того, чтобы найти траекторию луча, обычно решают дифференциальное уравнение следующего вида

$\displaystyle \frac{d}{dl}\left(n\frac{d\mathbf{R}}{dl}\right) = \text{grad } n$

Это уравнение для луча в том случае, когда параметром выступает длина кривой. В нашем случае плоскослоистой среды мы перейдем к другому параметру - глубине погружения y (отсчитываемой от 0 в положительную сторону), тогда несложно сообразить, что на этапе погружения луча в среду

$\displaystyle \frac{d}{dl} = \frac{d}{dy}\frac{dy}{dl} = {\sin\theta}\frac{d}{dy}$

Где θ - острый угол между касательной к лучу и поверхностью среды. Отметим также, что вектор dR/dl по своей математической природе как раз и является касательным вектором единичной длины.

Поэтому перепишем уравнение

$\displaystyle {\sin\theta}\frac{d}{dy}\left(n(\mathbf{e}_x\cos\theta+\mathbf{e}_y\sin\theta)\right) = \mathbf{e}_y\frac{dn}{dy}$

Отсюда мы получаем важное следствие

$\displaystyle\frac{d}{dy}({n\cos\theta}) = 0\\\\ n(0)\cos\theta(0) = n(y)\cos\theta(y)$

-------

Отступление: если мы находимся в рамках математики попроще, то последнее равенство, или даже закон сохранения можно объяснить качественно. Суть в том, что среда совершенно однородна вдоль оси X, направленной вдоль ее поверхности, поэтому проекция импульса фотона (волнового вектора электромагнитной волны) на ось Х должна сохраняться. Эта проекция равна nω/c*cos(θ), где ω - частота волны, c-скорость света в вакууме. Сокращая на ω/c получим тот же результат: неизменность произведения n*cos(θ)

--------------

Нас интересует случай, когда θ=0 и косинус равен 1, выразим отсюда глубину погружения

$n(0)\cos\theta_0 = n(y) = n(0)\sqrt{1-y/H}\\\\ 1-y/H = \cos^2\theta_0\\\\ y = H\sin^2\theta_0 = H\cos^2\varphi_0 = 3H/4 = 15\text{ m}$

Отметим, что из-за совпадения показателей преломления на границе раздела однородной и неоднородной сред, дополнительного преломления не будет.