Question

Один моль идеального одноатомного газа нагревается из начального состояния с температурой T 1 = 300 К сначала при постоянном давлении, а затем при постоянном объёме переводится в состояние с температурой T 2 = 400 К . Оказалось, что за время всего процесса газу передано количество теплоты Q = 4000 Дж . Во сколько раз изменился объём, занимаемый газом?

Answer 1

1) досконально изучаем задачу, вникаем в каждое слово, делаем схему (смотрите приложение)

2) раз дано количество теплоты, то целесообразно отталкиваться именно от него, а потом смотреть, что неизвестно и что с этим можно сделать 

по 1 закону термодинамики: Q = A + ΔU

A = A1 + A2

• при изобарном процессе работа в общем случае всегда считается по формуле: A = P ΔV

для нашего случая имеем: А1 = P1 (V0 - V1)

• во втором случае, когда объем постоянен, работы не совершается (это видно из верхней формулы)

ΔU = ΔU1 + ΔU2

• в общем случае формула внутренней энергии газа такова по определению: U = N Ek (сумма кинетических энергий всех молекул; так как газ идеальный, энергией взаимодействия молекул (потенциальной) пренебрегаем). из нее можно получить следующее: U = (i/2) * v R T, где i - число степеней свободы. для одноатомного газа i = 3, для двухатомного газа i = 5

итак, получаем: ΔU1 = 1.5 v R (T0 - T1)

ΔU2 = 1.5 v R (T2 - T0)

для простоты расчетов в дальнейшем важно заметить, что значение 1.5 v R (T0 - T1) соответствует значению 1.5 P1 (V0 - V1) согласно закону Менделеева-Клапейрона

таким образом, получаем:

Q = 2.5 P1 (V0 - V1) + 1.5 v R (T2 - T0).

3) заметим, что в уравнении 1 закона термодинамики у нас 4 неизвестных, и если с двумя мы знаем, что делать, то P1 и T0 нужно как-то выразить

кстати, сразу введем параметр: x = V0 / V1 (именно это отношение нас и просят найти)

• температуру T0 можно выразить из газового закона Гей-Люссака (он применим для газа данной массы, с которым что-то делают при постоянном давлении):

V1/T1 = V0/T0,

T0 = (T2 V0)/V1 = T1 x

• давление P1 можно выразить из газового закона Шарля (но это долго, ибо нужны будут дополнительные действия), а можно из закона Менделеева-Клапейрона. получаем:

P1 = (v R T1)/V1.

4) задача почти решена, осталось подставить все найденные выражения в 1 закон термодинамики

дабы не утомлять вас многочисленными строками матана, предоставлю вам конечную формулу. к тому же, матан здесь нетрудный

x = (Q/(vRT1)) + 2.5 - 1.5 (T2/T1).

находим, что x ≈ 2.105

Answer 2

Ответ:

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон Гей-Люссака для идеального газа, который гласит, что отношение объема газа к его температуре при постоянном давлении равно отношению начального объема к начальной температуре:

V₁ / T₁ = V₂ / T₂ Мы знаем, что начальная температура газа (T₁) равна 300 К, а конечная температура (T₂) равна 400 К. Также, нам дано, что газ нагревается сначала при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме.

Для первого этапа, когда газ нагревается при постоянном давлении, мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:

Q = n * Cₚ * ΔT где Q - количество теплоты, переданное газу, n - количество вещества газа, Cₚ - молярная теплоемкость при постоянном давлении, ΔT - изменение температуры.

Для второго этапа, когда газ нагревается при постоянном объеме, мы можем использовать другое уравнение состояния идеального газа:

Q = n * Cᵥ * ΔT где Cᵥ - молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Мы знаем, что за время всего процесса газу передано количество теплоты Q = 4000 Дж.

Теперь мы можем решить задачу.

Решение:

1. Рассмотрим первый этап, когда газ нагревается при постоянном давлении.

По уравнению состояния идеального газа, у нас есть:

Q₁ = n * Cₚ * ΔT₁

где Q₁ - количество теплоты, переданное газу на первом этапе, ΔT₁ - изменение температуры на первом этапе.

2. Рассмотрим второй этап, когда газ нагревается при постоянном объеме.

По уравнению состояния идеального газа, у нас есть:

Q₂ = n * Cᵥ * ΔT₂

где Q₂ - количество теплоты, переданное газу на втором этапе, ΔT₂ - изменение температуры на втором этапе.

3. Так как газ нагревается из начального состояния с температурой T₁ = 300 К, сначала при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме, то общее изменение температуры ΔT будет равно:

ΔT = ΔT₁ + ΔT₂ = T₂ - T₁ = 400 К - 300 К = 100 К

4. Теперь мы можем выразить количество теплоты Q₁ и Q₂ через ΔT:

Q₁ = n * Cₚ * ΔT₁

Q₂ = n * Cᵥ * ΔT₂

5. Мы знаем, что за время всего процесса газу передано количество теплоты Q = 4000 Дж. Поэтому:

Q = Q₁ + Q₂ = n * Cₚ * ΔT₁ + n * Cᵥ * ΔT₂

6. Так как газ является одноатомным идеальным газом, то молярная теплоемкость при постоянном давлении Cₚ и молярная теплоемкость при постоянном объеме Cᵥ связаны следующим образом:

Cᵥ = Cₚ - R

где R - универсальная газовая постоянная.

7. Подставим это в уравнение:

Q = n * Cₚ * ΔT₁ + n * (Cₚ - R) * ΔT₂

8. Теперь мы можем выразить ΔT₁ через ΔT и ΔT₂:

ΔT₁ = ΔT - ΔT₂

9. Подставим это в уравнение:

Q = n * Cₚ * (ΔT - ΔT₂) + n * (Cₚ - R) * ΔT₂

10. Теперь мы можем выразить количество вещества газа n через Q, Cₚ, Cᵥ, ΔT и R:

n = Q / (Cₚ * (ΔT - ΔT₂) + (Cₚ - R) * ΔT₂)

11. Так как у нас идеальный одноатомный газ, то у нас есть уравнение состояния идеального газа:

V = n * R * T / P где V - объем газа, P - давление газа, T - температура газа, R - универсальная газовая постоянная.

12. Мы можем использовать это уравнение для выражения объема газа V₁ при начальной температуре T₁ и давлении P₁:

V₁ = n * R * T₁ / P₁

13. Аналогично, мы можем использовать это уравнение для выражения объема газа V₂ при конечной температуре T₂ и давлении P₂:

V₂ = n * R * T₂ / P₂

14. Так как газ нагревается при постоянном давлении на первом этапе, то давление газа P₁ остается постоянным. Поэтому:

V₁ = n * R * T₁ / P₁ = const

15. Также, так как газ нагревается при постоянном объеме на втором этапе, то объем газа V₂ остается постоянным. Поэтому:

V₂ = n * R * T₂ / P₂ = const

16. Теперь мы можем выразить отношение объемов газа V₂ / V₁ через T₁, T₂, P₁ и P₂:

V₂ / V₁ = (n * R * T₂ / P₂) / (n * R * T₁ / P₁) = (T₂ * P₁) / (T₁ * P₂)

17. Так как у нас идеальный одноатомный газ, то у нас есть еще одно уравнение состояния идеального газа:

P * V = n * R * T 18. Мы можем использовать это уравнение для выражения давления газа P₁ при начальном объеме V₁, количестве вещества газа n и температуре газа T₁:

P₁ = n * R * T₁ / V₁

19. Аналогично, мы можем использовать это уравнение для выражения давления газа P₂ при конечном объеме V₂, количестве вещества газа n и температуре газа T₂:

P₂ = n * R * T₂ / V₂

20. Теперь мы можем выразить отношение объемов газа V₂ / V₁ через T₁, T₂, V₁ и V₂:

**V₂ / V₁ = (T₂ * P₁) / (T₁ * P₂) = (T₂ * (n * R * T₁