Question

Елосипедист массы M = 50 кг скатывается по наклонной дорожке и делает «мертвую петлю» радиуса R = 3,5 м. Определить минимальную высоту h, с которой должен съехать велосипедист, чтобы не оторваться от дорожки в верхней точке петли. Масса велосипеда m = 15 кг, причем на колеса приходится масса m0 = 4,0 кг. Колеса считать обручами.

Answer 1

Решение:
m*V^2/R = m*g + N
N - сила реакции опоры: N=0 - крайний случай
(m+M)*V^2/R = (m+M)*g, V^2 = g*R (1)
(m+M)*g*h = (m+M)*g*2*R + (m+M)*V^2/2, подставим (1):
h = 2*R + R/2 = 5*R/2
Ответ: h = 5R/2
P.S. Не учтена кинетическая энергия вращения колес! (m0*V^2/2

Answer 2

Для решения этой задачи используем законы сохранения энергии. В верхней точке петли механическая энергия трансформируется между потенциальной энергией и кинетической энергией.

Обозначим:

- \(M\) - масса велосипедиста (50 кг), - \(m\) - масса велосипеда (15 кг), - \(m_0\) - масса колес (4.0 кг), - \(R\) - радиус петли (3.5 м), - \(h\) - высота, с которой начинается спуск (искомая величина).

Начальная потенциальная энергия в системе, когда велосипедист только начинает движение, равна потенциальной энергии груза и колес на высоте \(h\):

\[U_{\text{нач}} = (M + m + m_0)gh\]

При верхней точке петли вся энергия преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения колес:

\[K_{\text{верх}} = \frac{1}{2}I\omega^2\]

Где \(I\) - момент инерции колес, а \(\omega\) - угловая скорость вращения колес.

Момент инерции колес можно выразить через массу и радиус колес:

\[I = m_0R^2\]

Кинетическая энергия вращательного движения колес также выражается через момент инерции и угловую скорость:

\[K_{\text{верх}} = \frac{1}{2}m_0R^2\left(\frac{v}{R}\right)^2\]

Скорость в верхней точке петли может быть выражена через угловую скорость и радиус петли:

\[v = \omega R\]

Таким образом,

\[K_{\text{верх}} = \frac{1}{2}m_0\left(\frac{v}{R}\right)^2R^2 = \frac{1}{2}m_0v^2\]

Приравниваем начальную потенциальную энергию к кинетической энергии в верхней точке петли:

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0v^2\]

Подставим выражение для скорости \(v\) и упростим:

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0\left(\frac{v}{R}\right)^2R^2\]

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0\left(\frac{\omega R}{R}\right)^2R^2\]

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0\omega^2R^2\]

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0\omega^2R^2\]

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0\frac{v^2}{R^2}R^2\]

\[(M + m + m_0)gh = \frac{1}{2}m_0v^2\]

Упростим выражение:

\[2gh = v^2\]

Теперь, учитывая, что \(v = \omega R\), получаем:

\[2gh = (\omega R)^2\]

Выразим угловую скорость \(\omega\) через линейную скорость \(v\):

\[\omega = \frac{v}{R}\]

Подставим это выражение в уравнение:

\[2gh = \left(\frac{v}{R} \cdot R\right)^2\]

\[2gh = v^2\]

Отсюда следует, что минимальная высота, с которой должен съехать велосипедист, чтобы не оторваться от дорожки в верхней точке петли, равна \(h = \frac{v^2}{2g}\).

Теперь найдем скорость \(v\). В начальный момент движения потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию. Таким образом,

\[Mgh = \frac{1}{2}(M + m + m_0)v^2\]

Решим это уравнение относительно \(v\):

\[2Mgh = (M + m + m_0)v^2\]

\[v^2 = \frac{2Mgh}{M + m + m_0}\]

Теперь подставим это значение в формулу для высоты \(h\):

\[h = \frac{\frac{2Mgh}{M + m + m_0}}{2g}\]

\[h = \frac{M}{M + m + m_0} \cdot h\]

Теперь подставим известные значения:

\[h = \frac{50}{50 + 15 + 4} \cdot h\]

\[h = \frac{50}{69} \cdot h\]

\[h \approx 0.7246 \cdot h\]

Таким образом, минимальная высота, с которой должен съехать велосипедист, чтобы не оторваться от дорожки в верхней точке петли, равна \(0.7246 \cdot R\). Подставим значения:

\[h \approx 0.7246 \cdot 3.5 \, \text{м} \approx 2.54 \, \text{м}\]

Таким образом, минимальная высота \(h \approx 2.54 \, \text{м}\).