Question

Шайба массой m1, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащую неподвижно на той же поверхности более тяжелую шайбу такого же размера массой m2. В результате частично неупругого удара первая шайба остановилась, а 50% ее первоначальной кинетической энергии перешло во внутреннюю энергию. Чему равно отношение масс шайб m2/m1?

Answer 1

Решение задачи заключается в двух действиях:
1) Закон сохранения импульса (ЗСИ)
2) Закон сохранения энергии (ЗСЭ)
Запишем ЗСИ
p1+p2=p3+p4
p2 и p3 = 0, так как шарик покоится
p1=p4
m1V1=m2V2
V2=m1V1/m2
2) Запишем ЗСЭ
mV1^2/2=mV2^2/2+0.75mV1^2/2
0.25mV1^2/2=mV2^2/2
Подставим вместо V2 наше выражение из ЗСИ и сокращая массы и скорость получим
m1/m2=0.25
m2/m1=4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и импульса.

1. Закон сохранения импульса: \[m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_f\]

Где: \(m_1\) - масса первой шайбы, \(v_1\) - начальная скорость первой шайбы, \(m_2\) - масса второй шайбы, \(v_f\) - конечная скорость обеих шайб после столкновения.

2. Закон сохранения энергии: \[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2 + Q\]

Где: \(Q\) - работа внутренних сил, приводящая к потере кинетической энергии.

Условие задачи говорит нам, что 50% начальной кинетической энергии первой шайбы перешла во внутреннюю энергию. Это можно записать как: \[Q = \frac{1}{2} m_1 v_1^2\]

Теперь мы можем решить систему уравнений для \(v_f\) и \(m_2/m_1\).

Решение: 1. Из закона сохранения импульса: \[v_f = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1\]

2. Подставим это выражение для \(v_f\) в закон сохранения энергии: \[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1\right)^2 + \frac{1}{2} m_1 v_1^2\]

3. Решим уравнение относительно \(m_2/m_1\).

На этом этапе можно сократить общий множитель \(\frac{1}{2} m_1 v_1^2\) и решить уравнение относительно \(\frac{m_2}{m_1}\). После упрощения, у нас останется: \[1 = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)^2 + 1\]

4. Решение уравнения: \[\frac{m_1}{m_1 + m_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

5. Наконец, найдем отношение масс: \[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} - 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, отношение масс шайб \(m_2/m_1\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).