Question

Частота свободных колебаний тела равна ω. Через какое наименьшее время его кинетическая энергия уменьшается вдвое по сравнению со своим наи- большим значением? Ответ ,пожалуйста, обосновать)

Answer 1

Кинетическая энергия свободных колебаний Ек зависит от времени t и частоты ω по следующей формуле
Ек(t)=k(1-cos2ωt), где k -некий коэффициент, зависящий от параметров колебательной системы
Максимальное значение Ек=2k когда cos2ωt₀=-1
2ωt₀=π
t₀=π/2ω
Нам надо найти такое минимальное положительное Δt, что
k(1-cos2ω(t₀+Δt))=k
1-cos2ω(t₀+Δt)=1
cos2ω(t₀+Δt)=0
2ω(t₀+Δt)=+-π/2+2πn
t₀+Δt=+-π/4ω+πn/ω
Δt=+-π/4ω+πn/ω-t₀=+-π/4ω+πn/ω-π/2ω=(+-π+4πn-2π)/4ω
При n=1
Δt=(+-π+4π-2π)/4ω=(+-π+2π)/4ω
Выбираем "-"
Δt=(-π+2π)/4ω=π/4ω

Answer 2

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем использовать закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тела определяется формулой: E = (1/2)mv^2, где m - масса тела, v - его скорость.

Для тела, совершающего свободные колебания, максимальная кинетическая энергия достигается в крайних точках колебаний, когда скорость максимальна. Пусть это значение скорости равно V.

Чтобы найти, через какое наименьшее время кинетическая энергия уменьшится вдвое, мы можем использовать следующее соотношение: E' = (1/2)m(V/2)^2, где E' - новое значение кинетической энергии.

Поскольку кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, то E' = E/2. Подставляя значения, получим: (1/2)m(V/2)^2 = (1/2)mv^2/2. Упрощая, получим: (V/2)^2 = v^2/2.

Заметим, что максимальная скорость v соответствует крайним точкам колебаний, когда тело проходит через положение равновесия. В этот момент кинетическая энергия равна 0. Таким образом, v = 0.

Подставляя v = 0 в уравнение (V/2)^2 = v^2/2, получаем (V/2)^2 = 0/2, что равносильно V^2/4 = 0. Решая это уравнение, получаем V = 0.

Таким образом, кинетическая энергия тела уменьшается вдвое по сравнению со своим наибольшим значением в момент прохождения через положение равновесия, когда скорость равна нулю.