Question

Несколько наклонных плоскостей имеют общее основание. При каком угле наклона плоскости к горизонту альфа время соскальзывания тела будет наименьшим? Трение отсутствует.

Answer 1

• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α

• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:

$L= \frac{a t^{2} }{2}$

○ поэтому время скатывания равно:

$t= \sqrt{ \frac{2L}{a} }$

• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)

• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)

○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:

$t= \sqrt{ \frac{2b}{gsin \alpha cos \alpha } }$

• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):

$t= \sqrt{ \frac{4b}{gsin2 \alpha } } \\ \\ \frac{1}{2\sqrt{ \frac{4b}{gsin2 \alpha } }} \frac{0-4gb(sin2 \alpha )'}{ g^{2} sin^{2}2 \alpha }=0 \\ \\ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{gsin2 \alpha }{4b} } \frac{-4gb2cos2 \alpha }{ g^{2} sin^{2}2 \alpha } =0 \\ \\ - \sqrt{ \frac{gsin2 \alpha }{b} } \frac{2bcos2 \alpha }{g sin^{2}2 \alpha } =0 \\ \\ - \frac{ \sqrt{sin2 \alpha }2 \sqrt{b}cos2 \alpha }{ \sqrt{g} sin^{2}2 \alpha } =0$

данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):

$cos2 \alpha =0 \\ \\ 2 \alpha = \frac{ \pi }{2} + \pi k \\ \\ \alpha = \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi k}{2}$

ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:

$sin2 \alpha \neq 0 \\ \\ a \neq \frac{\pi k}{2}$

то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°

Answer 2

Finding the Optimal Angle for Minimum Sliding Time

When several inclined planes share a common base and there is no friction, the time it takes for an object to slide down the planes will be minimized at a specific angle of inclination to the horizontal.

The optimal angle for the minimum sliding time can be determined using the principle of least action, which states that the path taken by an object between two points is the one that minimizes the action integral. In the case of an inclined plane, the action integral is minimized when the time taken for the object to slide down the plane is minimized.

The optimal angle for the minimum sliding time can be found using the following formula:

\[ \tan(\alpha) = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Where: - \(\alpha\) = angle of inclination to the horizontal - \(h\) = vertical height of the inclined plane - \(g\) = acceleration due to gravity

By substituting the given values for the vertical height and acceleration due to gravity into the formula, the optimal angle for the minimum sliding time can be calculated.

Let's calculate the optimal angle using the provided formula.

Calculation of the Optimal Angle

Given that the formula for the optimal angle is \(\tan(\alpha) = \sqrt{\frac{2h}{g}}\), and the value of \(g\) is approximately 9.81 m/s\(^2\) (standard acceleration due to gravity), we can proceed with the calculation using the provided vertical height of the inclined plane.

Substituting the given values into the formula: \[ \tan(\alpha) = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times \text{vertical height}}{9.81}} \]

After calculating the value of \(\alpha\), we can determine the angle at which the sliding time will be minimized.

Let's proceed with the calculation to find the optimal angle for the minimum sliding time.