Question

Школьник решил прокатиться в метро одного из городов. Понаблюдав за поездами, он понял, что интервал их движения составляет T=1 мин 40 c, при этом все поезда стоят на станции в течение Δt=30 c. Определите дистанцию между поездом в момент его отправления со станции и позади идущим составом. Длина каждого поезда составляет L=100 м. Ответ выразите в мм, округлив до целых. Под дистанцией подразумевается расстояние между хвостом впереди идущего поезда и головой позади идущего. Известно, что до отправления поезда со станции позади идущий состав успевает разогнаться до постоянной скорости V.

Answer 1

В задаче не сказано, как именно останавливается поезд.

Можно было бы предположить, что поезда останавливаются мгновенно, как в примитивной компьютерной игре, однако, читая последнее предложения, мы понимаем, что рассматривается более-менее реальная ситуация, где поездам нужно время для того, чтобы разгоняться, а значит и останавливаться.

[[ I ]] Если предположить, что в задаче должен быть указан период и время торможения, то тогда в ней должны использоваться два дополнительных параметра: $t$ – время и $S$ – период торможения.

[[ II ]] Если же предположить, что поезда останавливаются с постоянным ускорением $a ,$ то решение будет содержать этот дополнительный параметр.



Решим задачу для обоих вариантов восстановленного условия:



[[ I ]]

Дано в конкретных з н а ч е н и я х :

Интервал движения $T = 100 c .$
Время посадки высадки $\Delta t = 30 c .$
Длина состава $L = 100$ м .

дано п а р а м е т р а м и :

Штатная скорость $V$ ;
Время торможения до остановки $t$ ;
Тормозной путь $S$ ;


Найти: дистанцию между составами $D$ .




Р е ш е н и е :


Все положения, упоминаемые в доказательстве решения, отмечены на приложенном к решению рисунке.

Искомая дистанция между поездами – это свободное пространство вдоль железнодорожного полотна. Таким образом – дистанция в данном случае – это расстояние от ведущего вагона (начала) заднего Скоростного состава (положение С) до Конца припаркованного состава (положение К) в тот момент, когда припаркованный собирается отправляться.

Нам неизвестно, является ли торможение составов перед остановкой равнозамедленным или нет, и нам это знать и не нужно (!), поскольку нам дано и время, и скорость, и тормозной путь. Всё, что нам нужно – это корректно учесть все слагаемые времени и пути при торможении.

Общий интервал движения составляет $T = 100 c ,$ и это означает, что каждые $100$ секунд, в положении Н оказывается Начало очередного состава. Уже припаркованный состав простоял на станции $\Delta t = 30 c ,$ а это означает, что следующему за ним составу осталось проехать из положения С (начало скоростного состава) до точки Н (начало припаркованного состава) в течение $T - \Delta t = 70$ секунд.

Искомая дистанция между составами, как мы уже говорили выше, измеряется не от положения С до положения Н, а от положения С до положения К (конец припаркованного состава). Однако нам будет удобно найти весь остаточный путь СН (между положениями С и Н), а затем вычесть из него длину КН (между положениями К и Н), равную длине состава $L = 100$ м.

Из $T - \Delta t = 70$ секунд, оставшихся идущему следом составу, первые $\tau = T - t - \Delta t = 100 c - t - 30 c = 70 - t$ секунд он будет идти с постоянной скоростью $V$ из положения С в положение О, а последующие $t$ секунд он будет останавливаться из положения О до положения Н.

Длину отрезка ОН – это тормозной путь $S$ . Теперь найдём СО, т.е. длину $\lambda .$ Мы знаем, что по отрезку СО состав двигается равномерно со скоростью $V$ в течение времени $\tau = T - t - \Delta t ,$ значит отрезок СО, т.е. $\lambda = V \tau = V \cdot ( T - t - \Delta t ) = V \cdot ( 100 c - t - 30 c ) = V \cdot ( 70 c - t ) .$

Отсюда ясно, что вся длина СН = СО + ОН , т.е.
СН $= \lambda + S = S + V \cdot ( T - t - \Delta t ) = S + V \cdot ( 70 c - t ) .$

Как было показано выше искомая дистанция $D$ – это длина СК, равная разности СН и КН, т.е. СН и $L$.

Итак: $D =$ СК $=$ CH $- L = V \cdot ( T - t - \Delta t ) + S - L =$

$= V \cdot ( 100 - t - 30 ) c + S - 100$ м $= V \cdot ( 70 c - t ) + S - 100$ м .



О т в е т [[ I ]] :

дистанция между составами в аналитической форме

$D = V \cdot ( T - t - \Delta t ) + S - L$ ;

дистанция между составами с подстановкой известных величин:

$D = V \cdot ( 70 c - t ) + S - 100$ м ,

где $V$ – штатаная скорость состава,
$t$ – время торможения, и $S$ – тормозной путь.




*** [[ II ]] Решение задачи для второго варианта восстановленного условия во вложенной картинке:

О т в е т [[ II ]] :

дистанция между составами в аналитической форме

$D = V \cdot ( T - \Delta t ) - \frac{V^2}{2a} - L$ ;

дистанция между составами с подстановкой известных величин:

$D = V \cdot 70 c - \frac{V^2}{2a} - 100$ м ,

где $V$ – штатаная скорость состава,
и $a$ – модуль ускорения при торможении.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для расстояния, пройденного телом с постоянным ускорением:

S = V*t + (a*t^2)/2

Где S - расстояние, V - начальная скорость, t - время, а - ускорение.

Начнем с того, что найдем ускорение поезда. Мы знаем, что интервал движения поездов составляет 1 минуту 40 секунд, что равно 100 секундам. За это время поезд разгоняется до постоянной скорости и проходит расстояние, равное длине поезда (L). Таким образом, мы можем использовать формулу для постоянного ускорения:

L = (a*(100^2))/2

Отсюда мы можем найти ускорение (a):

a = (2*L)/(100^2)

Теперь мы можем найти скорость, которую достигает поезд за 30 секунд (время, пока он стоит на станции). Используем формулу:

V = a*t

V = (2*L*30)/(100^2)

Теперь, когда у нас есть начальная скорость (V), мы можем найти расстояние между поездом в момент его отправления со станции и позади идущим составом. Для этого мы можем использовать формулу для постоянной скорости:

S = V*Δt

S = (2*L*30*100)/(100^2)

S = 60 м

Итак, расстояние между поездом в момент его отправления со станции и позади идущим составом составляет 60 метров. Переведем это расстояние в миллиметры, умножив на 1000:

60 м * 1000 = 60000 мм

Ответ: 60000 мм.