Question

К торцам цилиндрического проводника длины L подключили напряжение U . Он начал нагреваться, и через некоторое время приобрел постоянную температуру T1. Затем проводник растянули, так, что получился цилиндр длины 2L, и снова подключили к нему напряжение U . Найдите установившуюся температуру проводника в этом случае. Комнатная температура постоянна и равна T0. Считайте, что за единицу времени единица площади поверхности проводника с температурой T отдает в комнату теплоту α(T - T0), где α постоянный коэффициент, T0 - комнатная температура. Теплоотдачей с торцов проводника пренебречь

Answer 1

V - объем - величина неизменная
L - длина  проводника
r - радиус основания
l - длина дуги основания
Sосн - площадь основания
Sбок - площадь боковая
R - сопротивление
P - мощность
Т - температура
индекс 1 - до растяжения
индекс 2 - после растяжения
L2/L1=2
V=Sосн1*L1=Sосн2*L2
Sосн2/Sосн1=L1/L2=1/2
Sосн2=Sосн1*1/2
r1=корень(Sосн1/pi)
r2=корень(Sосн2/pi)=корень(Sосн1/pi) * корень(Sосн2/Sосн1)=r1* корень(1/2)
r2/r1=корень(1/2)
l1=2*pi*r1
l2=2*pi*r2=l1=2*pi*r1*r2/r1=l1*корень(1/2)
l2/l1=корень(1/2)
Sбок1=l1*L1
Sбок2=l2*L2=l1*L1*l2/l1*L2/L1=Sбок1*корень(1/2)*2=Sбок1*корень(2)
Sбок2/Sбок1=корень(2)
R=ro*L/Sосн
P=U^2/R=U^2*Sосн/(ro*L)
P1=U^2*Sосн1/(ro*L1)=alpha*(T1-T0)*Sбок1
P2=U^2*Sосн2/(ro*L2)=alpha*(T2-T0)*Sбок2
(T2-T0)*Sбок2 / {(T1-T0)*Sбок1} = (Sосн2/L2) / (Sосн1/L1)
T2 = T0+(T1-T0)*(Sбок1/Sбок2)*(Sосн2/Sосн1)*(L1/L2) = T0+(T1-T0)*(1/корень(2))*(1/2) * (1/2) =  T0+(T1-T0)*корень(2)/8
ответ
T2  =  T0+(T1-T0)*корень(2)/8