Question

Стоя на льду, человек пытается сдвинуть тяжелые сани за привязанную к ним веревку. Масса саней 100 кг, человека 60 кг. Коэффициент трения саней о лед равен 0,20, человека о лед − 0,30. Под каким углом к горизонту человеку нужно тянуть за веревку, чтобы сдвинуть сани?

Answer 1

Горизонтальная компонента силы, необходимая для сдвига саней, равна силе трения $F_1=\mu N_1=\mu_1 m_1g=0.2\cdot100g=20g$
Максимальная горизонтальная сила, которую может приложить человек, равна опять-таки силе его трения со льдом $F_{2}=\mu_{2} N_{2}=\mu_{2}m_{2}g=0.3\cdot60g=18g$

Заметим, что 18g < 20g, поэтому, если тянуть веревку горизонтально, ничего не выйдет. Но можно тянуть под углом, тогда, не смотря на то, что горизонтальная компонента силы тяги уменьшится, но изменятся силы реакции опоры.

Рассмотрим предельный случай, когда сила тяги сравняется с силой трения между санями и льдом. Пусть это реализуется при каком-то угле α.
Сила реакции для саней станет равна N1 = M1 * g - T sin α
Сила реакции, человек: N2 = M2 * g + T sin α
Сила тяги Fт = T cos α

Должно выполняться
μ1 N1 = Fт
μ2 N2 = Fт

Первое уравнение:
μ1 * (M1 * g - T sin α) = T cos α
T (cos α + μ1 * sin α) = μ1 * M1 * g
T =  μ1 * M1 / (cos α + μ1 * sin α)

Подставляем T во второе уравнение:
μ2 * (M2 * g + T sin α) = T cos α
μ2 M2 + μ2 sin α * μ1 M1 / (cos α + μ1 sin α) = μ1 M1 cos α / (cos α + μ1 sin α)
μ2 M2 cos α + μ1 μ2 M2 sin α + μ1 μ2 M1 sin α = μ1 M1 cos α
(μ1 M1 - μ2 M2) cos α = μ1 μ2 (M1 + M2) sin α
tg α = (μ1 M1 - μ2 M2) / (μ1 μ2 (M1 + M2)) = 2 / (0.06 * 160) = 2 / 9.6 ~ 0.208
α ~ 11.8 градуса

Ответ. α > 11.8°