Question

Снаряд выпущен из пушки вертикально вверх со скоростью 400 м/с. В наивысшей точке подъёма он разорвался на два осколка, причём оба осколка упали вблизи точки выстрела. Первый упал со скоростью, в 2 раза большей начальной, а второй — через 80 с после разрыва. Определите отношение масс осколков . Решите пожалуйста быстрее

Answer 1

Раз осколки упали вблизи точки выстрела, значит при разрыве они не получили дополнительных горизонтальных скоростей.

Значит начальные скорости $v_1$ и $v_2$ осколков с массами, соответственно: $m_1$ и $m_2$ строго вертикальны.

Пусть «быстрый» осколок, тот что упал первым, это 1-ый осколок $m_1$ . И пусть второй осколок отличается от первого в $k$ раз по массе, т.е. $m_2 = k m_1$ , тогда из закона сохранения импульса получим, что:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$ ;

$m_1 v_1 + k m_1 v_2 = 0$ ;

$k v_2 = -v_1$ ;

$v_2 = -v_1/k$ – формула [1] ;


Считая положительным направлением – направление вниз, будем иметь ввиду, что:

$v_1 > 0$ и $v_2 < 0$ , т.е. второй осколок полетит вверх, что логично ;


При падении с высоты наивысшего подъёма, квадрат скорости любого тела увеличится на квадрат начальной скорости снаряда, что следует из безвременнóй формулы:


$2 g H = v_o^2 = v_{11}^2 - v_1^2$ – формула [2] ,

где $v_{11}$ – конечная скорость первого «быстрого» осколка.

С другой стороны, известно, что она больше начальной скорости снаряда вдвое, т.е. $v_{11} = 2 v_o$ , тогда:

$v_o^2 = ( 2 v_o ) ^2 - v_1^2$ ;

$v_1^2 = 3 v_o^2$ ;

$v_1 = v_o \sqrt{3}$ – формула [3] ;


Поскоьку второй осколок упал через $t_2 =$ 80 c после разрыва, то мы можем использовать этот факт:

$v_2 t + \frac{ g t^2 }{2} = H = \frac{ v_o^2 }{2g}$ – это следует из формулы [2] ;

$v_2 t = \frac{ v_o^2 }{2g} - \frac{ g t^2 }{2}$ ;

$v_2 = \frac{ v_o^2 }{2gt} - \frac{gt}{2}$ ;


Подставим это в формулу [1] и получим:

$-v_1/k = \frac{ v_o^2 }{2gt} - \frac{gt}{2}$ , отсюда:

$v_1/k = \frac{gt}{2} - \frac{ v_o^2 }{2gt}$ , отсюда с учётом формулы [3] :

$k = v_o \sqrt{3} / ( \frac{gt}{2} - \frac{ v_o^2 }{2gt} )$ ;

$k = \frac{ \sqrt{3} }{2} / ( \frac{gt}{v_o} - \frac{v_o}{gt} )$ ;

Но величина k – и есть искомое отношение масс. Осталось только вычислить его. Легко вычислить, что $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ;


Ответ:

* если считать, что g = 10 Н/кг – упавший первым осколок в $\sqrt{3}$ = 1.73 раз тяжелее упавшего последним.

** если считать, что g = 9.8 Н/кг – упавший первым осколок в 1.67 раз тяжелее упавшего последним.