Question

Привет). Помогите с решением.Однородный диск радиусом R=0,5 м катится без проскальзывания со скоростью u=2 м/с. Найти скорость точек диска A, B, C, D, E. Найти геометрическое место всех точек диска, скорость которых u=2 м/с. Угол a=60 градусов.

Answer 1

Основная идея этой задачи состоит буквально в следующем:
1. Мгновенный центр вращения в каждый момент времени - точка касания диска и земли (действительно, относительно земли только она остается в покое, пусть даже на бесконечно маленький промежуток времени).
2. Диск вращается твердотельно, т.е. угловые скорости всех точек диска равны между собой.
Итак, в данный момент времени (который на картинке), качение диска можно эквивалентно заменить на его вращение вокруг точки А. Пишем:
$\vec v=\vec \omega\times \vec r$ (определение)
Поскольку нас волнует только модуль скорости и диск движется только в одной плоскости, на векторное произведение мы можем спокойно забить и писать уравнения для модуля поступательной скорости:
$v=\omega \cdot r$,
здесь r - расстояние от центра вращения до точки, в которой нужно посчитать скорость.
Итак, 
для центра: $v_O= \omega R; \boxed {R=\frac v \omega}$
для т. С: $v_C=\omega\cdot 2R=2v$
для т-к B и D: $v_B=v_D=\omega\cdot \sqrt 2 R=v \sqrt 2$
С точкой Е чуть-чуть сложнее.
Заметим, что треугольник AOE - равнобедренный, тогда сторона AE равно радиусу диска. Таким образом, $v_E=\omega r=v_$.
Отвечая на второй вопрос, потребуем, чтобы поступательная скорость движения некоторых точек диска была равна скорости центра:
$u=\omega r^*$
Теперь заметим, что в левой части скорость обязана быть постоянной (по условию) и в правой части угловая скорость также постоянная (так как диск - твердое тело). В таком случае, и радиус тоже должен быть постоянным и равным радиусу диска ($r^*=\frac {v_O}{\omega}=R$). 
Теперь становится очевидным, что геометрическое место точек диска, движущихся со скоростью его центра - это дуга окружности радиусом, равным радиусу диска с центром в точке его касания с землей и, как легко показать, величиной в 120 градусов.