Question

К потолку на нити длиной 1 м прикреплён тяжёлый шарик. Шарик приведён во вращение в горизонтальной плоскости. Нить составляет угол 60 градусов с вертикалью. Найдите период обращения шарика. Решите, пожалуйста!

Answer 1

К потолку на нити длиной 1 м прикреплён тяжёлый шарик. Шарик приведён во вращение в горизонтальной плоскости. Нить составляет угол 60 градусов с вертикалью. Найдите период обращения шарика. Решите, пожалуйста!

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии. Энергия кинетическая и потенциальная в данной системе будут меняться друг в друга.

При вращении тяжелого шарика на нити длиной \( l \) в горизонтальной плоскости энергия сохраняется. Энергия кинетическая и потенциальная находятся в постоянном обмене друг с другом. Полная механическая энергия системы в данном случае равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

\[ E = K + U \]

Где: - \( K \) - кинетическая энергия, - \( U \) - потенциальная энергия.

Кинетическая энергия шарика вращающегося вокруг вертикальной оси равна \( K = \frac{1}{2}I\omega^2 \), где \( I \) - момент инерции, а \( \omega \) - угловая скорость.

Потенциальная энергия шарика, поднятого на высоту \( h \), равна \( U = mgh \), где \( m \) - масса шарика, \( g \) - ускорение свободного падения, \( h \) - высота поднятия.

Момент инерции шарика, вращающегося на конце нити, равен \( I = ml^2 \), где \( m \) - масса шарика, \( l \) - длина нити.

Таким образом, полная механическая энергия системы будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии:

\[ E = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 + mgh \]

Поскольку энергия сохраняется, полная энергия остается постоянной. На максимальной высоте, когда шарик находится в верхнем положении, вся энергия будет потенциальной. В точке нижнего положения, вся энергия будет кинетической.

Таким образом, полная энергия в верхнем положении равна потенциальной энергии, а в нижнем положении - кинетической энергии:

\[ E_{\text{верх}} = U = mgh \]

\[ E_{\text{низ}} = K = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 \]

Приравниваем эти два выражения:

\[ mgh = \frac{1}{2}ml^2\omega^2 \]

Отсюда находим угловую скорость \( \omega \):

\[ \omega = \sqrt{\frac{2gh}{l}} \]

Теперь, период обращения \( T \) связан с угловой скоростью следующим образом: \( T = \frac{2\pi}{\omega} \). Подставим значение \( \omega \):

\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{2gh}{l}}} \]

Таким образом, это уравнение дает период обращения шарика в горизонтальной плоскости.