Question

При фотографировании предмета высотой h с расстояния d получили изображение высотой H. Какой будет высота изображения предмета, если его поместить на тройном фокусном расстоянии от линзы?

Answer 1

Основные формулы для двух случаев: 
ф-ла увеличения
ф-ла тонкой линзы

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу тонкой линзы, которая связывает расстояния до предмета (до линзы), расстояния после линзы и фокусное расстояние линзы. Формула тонкой линзы выглядит так:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

где: - \(f\) - фокусное расстояние линзы, - \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы, - \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

В данной задаче у нас есть изображение предмета, полученное с расстояния \(d\), и мы хотим найти высоту изображения при тройном фокусном расстоянии. Пусть новое фокусное расстояние будет \(3f\), а новое расстояние от изображения до линзы - \(3d_i\).

Мы можем использовать ту же формулу для новых данных:

\[\frac{1}{3f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{3d_i}\]

Теперь, у нас есть две формулы. Давайте решим систему уравнений. Начнем с первой:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

Теперь, вторая формула:

\[\frac{1}{3f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{3d_i}\]

Выразим \(\frac{1}{d_i}\) из первой формулы:

\[\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}\]

Подставим это во вторую формулу:

\[\frac{1}{3f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{3}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}\right)\]

Теперь решим это уравнение относительно \(d_o\). Умножим обе стороны на \(3fd_o\):

\[1 = 3fd_o + f - \frac{d_o}{d_o}\]

Упростим:

\[1 = 3fd_o + f - 1\]

Теперь сгруппируем по \(d_o\):

\[3fd_o = 1 - f\]

\[d_o = \frac{1 - f}{3f}\]

Теперь, найдем \(d_i\), подставив это значение обратно в первую формулу:

\[\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}\]

\[\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{3f}{1 - f}\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{1}{d_i} = \frac{1 - f - 3f}{f(1 - f)}\]

\[\frac{1}{d_i} = \frac{-2f}{f(1 - f)}\]

\[d_i = -\frac{1 - f}{2}\]

Теперь, мы можем использовать это значение \(d_i\) для нахождения высоты изображения. У нас изначально высота изображения была \(H\), а теперь она будет \(3d_iH\):

\[H_{\text{нов}} = 3 \times \left(-\frac{1 - f}{2}\right)H\]

\[H_{\text{нов}} = -\frac{3(1 - f)}{2}H\]

Таким образом, если поместить предмет на тройное фокусное расстояние от линзы, высота изображения будет уменьшена в \( \frac{3(1 - f)}{2} \) раз.