Question

На рисунке представлена схема фрагмента электрической цепи, состоящего из 18 одинаковых вольтметров. К концам A и B этого фрагмента приложили постоянное напряжение, в результате чего сумма показаний всех вольтметров составила U=92 В. Что показал вольтметр, выделенный на рисунке чёрным цветом? Ответ выразить в В, округлив до десятых.

Answer 1

Перенумеруем вольтметры. Смотрите приложенную иллюстрацию.

Сделаем эквивалентную замену. Разделим каждый из вольтметров V3 и V17 на пары одинаковых V19+V20 и V21+V22 .

Если взять вольтметры V19, V20, V21 и V22 с половинными сопротивлениями, то на составных участках их общие сопротивления не изменяться и общее напряжение на каждом из участков окажется прежним, т.е. будет выполняться, что:

V19 + V20 = V3    и    V21+V22 = V17 ;

Из симметрии ясно, что в точках: 0, 3, 12 и 17 – потенциал один и тот же. А значит, если замкнуть все эти точки синим проводом 12–17 – то никакие новые токи не возникнут и ничего в схеме не изменится.

Будем далее рассматривать половину исходной схемы от точки A до общего потенциала 0.

Ясно, что:

V1 = V5 = V19.

Обозначив сопротивление каждого из вольтметров, как R, легко понять, что сопротивление параллельного участка [XIX] составит R/4 .

Значит, на вольтметре V4 падает в 4 раза большее напряжение, чем на участке [XIX] и на вольтметре V1.

Итак: V4 = 4V1 .

V8 = V4 + V5 = 5V1 .

Общее сопротивление последовательного участка [IV] из V4 и [XIX] составляет [5/4] R .

Общее сопротивление параллельного участка [VIII] из V8 и [IV] составляет [5/9] R .

Общее сопротивление параллельно-последовательного участка [XI] из V11, V10 и V16 составляет [2/3] R .

Из соотношения участков [VIII] и [XI] ясно, что на V11 падает в [6/5] раз большее напряжение.

Итак: V11 = 6V1 ;

V10 + V16 = V11 = 6V1 ;

V12 = V11 + V8 = 11V1 ;

V21 = V12 = 11V1 ;



Найдём полную сумму напряжений левой половины эквивалентной схемы:

V1 + V4 + V5 + V8 + [ V10 + V16 ] + V11 + V12 + V19 + V21 =

= V1 + 4V1 + V1 + 5V1 + 6V1 + 6V1 + 11V1 + V1 + 11V1 = 46V1 ;


Полная сумма всех показаний исходной схемы вдвое больше. А значит полная сумма:

U = 92V1 ;

V1 = U/92 ;

V4 = 4V1 = 4U/92 = [4/92] U = 4 В .