Question

Требуется переместить кубик по шероховатой горизонтальной поверхности на некоторое расстояние L >> a, где a – длина ребра кубика. Что выгоднее – медленно кантовать кубик через ребро или медленно дви- гать, прилагая при этом горизонтальную силу? Коэффициент трения меж- ду кубиком и поверхностью равен 0,5.

Answer 1

При перетаскивании все просто - мы совершаем работу против силы трения, которая равна половине веса кубика (коэфт. трения 0.5) поэтому работа будет равна 

$A_1 = 0.5 mg\cdot L$

С кантованием поступим так. Рассмотрим один период кантования, если мы поставим кубик на ребро так, что центр кубика окажется точно над ним, то он сам перекатится и этого будет достаточно. Когда кубик стоит на ребре, его центр масс находится на расстоянии $a/\sqrt{2}$ от пола, а изначально (когда кубик стоит на грани), центр масс находится на расстоянии $a/2$ над столом.

Следовательно, за один период кантования надо прирастить потенциальную энергию кубика на 

$\Delta W = mg(a/\sqrt{2}-a/2) = mga(\sqrt{2}-1)/2$

Собственно, это наша работа за 1 цикл кантования, при этом кубик сместится на расстояние a. Для большого числа циклов можно утверждать, что

$L = Na = N\Delta W/[mg(\sqrt{2}-1)/2)] = A/[mg(\sqrt{2}-1)/2)]\\\\ A = mgL(\sqrt{2}-1)/2$

Это число явно меньше первой оценки, поэтому ответ: кантовать

Answer 2

Для ответа на этот вопрос, давайте сначала рассмотрим два способа перемещения кубика.

1. Кантование через ребро: При кантовании через ребро кубик будет двигаться вдоль горизонтальной поверхности с помощью вертикальной силы, которая будет создавать момент трения между кубиком и поверхностью. Это будет требовать приложения дополнительной силы, чтобы преодолеть момент трения и переместить кубик на расстояние L.

2. Перемещение с горизонтальной силой: При этом способе перемещения кубика будет прилагаться горизонтальная сила, чтобы преодолеть коэффициент трения и переместить кубик на расстояние L.

Теперь давайте рассмотрим, какой способ будет более выгодным. Для этого мы можем использовать работу, которая будет затрачена на перемещение кубика в обоих случаях.

1. Кантование через ребро: Работа, необходимая для перемещения кубика через ребро, будет равна силе трения, умноженной на расстояние, которое кубик переместится. Таким образом, работа будет равна W1 = Fтр * L, где Fтр - сила трения.

2. Перемещение с горизонтальной силой: Работа, необходимая для перемещения кубика с горизонтальной силой, будет равна силе, приложенной кубику, умноженной на расстояние, которое он переместится. Таким образом, работа будет равна W2 = F * L, где F - горизонтальная сила.

Теперь давайте сравним обе работы. Поскольку коэффициент трения между кубиком и поверхностью равен 0,5, то сила трения Fтр = 0,5 * F.

Теперь мы можем сравнить W1 и W2: W1 = (0,5 * F) * L W2 = F * L

Так как W1 = 0,5 * F * L, а W2 = F * L, то работа, необходимая для перемещения кубика с горизонтальной силой, будет меньше, чем работа, необходимая для кантования через ребро.

Таким образом, более выгодным способом будет медленное перемещение кубика с приложением горизонтальной силы, чем кантование через ребро.