Question

13.12. Точкове джерело монохроматичного світла з довжиною хвилі λ = 5000 Ǻ знаходиться на відстані R = 0,75 м від ширми з отвором діаметра d1 = 1,5 мм. На відстані L = Rвід ширми розміщено екран. Як зміниться освітленість в точці В екрана, що лежить на осі пучка, якщо діаметр отвору збільшити до d2 = 2,1 мм?

Answer 1

Освітленість в точці В екрана можна обчислити, використовуючи формулу Френеля для дифракції на круглому отворі:

I = (I₀ * (J₁/α₁)² * (α₂/J₂)²) * (λ * R / π * d)²

де I₀ - початкова освітленість на екрані, J₁ та J₂ - функції Бесселя першого роду, аргументи яких залежать від розміру отвору та відстаней, α₁ та α₂ - кути, визначені як α = π * d / (λ * R), λ - довжина хвилі світла, R - відстань від точкового джерела до ширми, d - діаметр отвору.

Спочатку обчислимо початкову освітленість I₀ для вихідних параметрів:
I₀ = λ * R / (π * d₁)² = (5000 * 10^(-10) * 0.75) / (π * (1.5 * 10^(-3))²)

Потім обчислимо функції Бесселя та кути для початкового та збільшеного діаметрів:
α₁ = π * d₁ / (λ * R)
α₂ = π * d₂ / (λ * R)
J₁ = (2 * J₁(α₁)) / α₁
J₂ = (2 * J₁(α₂)) / α₂

Нарешті, використовуючи отримані значення, обчислимо нову освітленість I₂ при збільшеному діаметрі отвору:
I₂ = (I₀ * (J₁/α₁)² * (α₂/J₂)²) * (λ * R / π * d₂)²

Звертаю вашу увагу, що цей розрахунок вимагає використання значень довжини хвилі, відстаней та діаметрів в метричній системі (метрах). В результаті отримаєте нову освітленість в точці В екрана.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі, ми можемо використовувати принцип Гюйгенса-Френеля, який описує поширення світла через вузький отвір.

Освітленість в точці В екрана залежить від кількості світлових хвиль, які досягають цієї точки. Чим більше хвиль дістається до точки В, тим яскравіше вона буде освітлена.

Освітленість можна виразити через площу отвору та відстань між отвором і точкою В на екрані. Освітленість (I) пропорційна площі отвору (S) та обернено пропорційна квадрату відстані (R) між отвором і точкою В:

$I \propto \frac{S}{R^2}$

Площа отвору може бути обчислена через площу кола:

$S = \frac{\pi}{4}d^2$

Де d - діаметр отвору.

Отже, співвідношення освітленості для двох різних діаметрів отворів d1 і d2 буде:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{\pi}{4}d_2^2}{\frac{\pi}{4}d_1^2} \cdot \frac{R^2}{R^2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$

Підставляючи значення d1 = 1.5 мм і d2 = 2.1 мм, отримаємо:

$\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{2.1 \, \text{мм}}{1.5 \, \text{мм}}\right)^2 \approx 2.44$

Отже, якщо діаметр отвору збільшити до 2.1 мм, освітленість в точці В на екрані збільшиться приблизно в 2.44 рази порівняно з освітленістю при діаметрі 1.5 мм.