Question

Считая радиус атома водорода равным 5,3*10^-11 м, определите скорость и частоту обращения электрона. Пожалуйста без фигни и сторонних сайтов

Answer 1

Чтобы определить скорость и частоту электрона в атоме водорода, мы можем использовать следующие уравнения:

Центростремительная сила (Fc), которая удерживает электрон на его орбите, равна электростатической силе притяжения между электроном и протоном. Эти силы связаны законом Кулона, который гласит, что F = kQ1Q2 / r^2, где k - постоянная Кулона, Q1 и Q2 - заряды частиц, а r - расстояние между ними. В случае атома водорода Q1 - это заряд электрона (-e), а Q2 - заряд протона (+e), где e - элементарный заряд. Следовательно, имеем:

Fc = k(-e)(+e) / r^2 = mev^2 / r

Скорость электрона (v) связана с его угловым моментом (L) формулой L = mvr, где m - масса электрона, а r - радиус его орбиты. Угловой момент электрона квантуется в целых числах, кратных постоянной Планка, деленной на 2π, или h/2π, где h - постоянная Планка. Следовательно, имеем:

L = n(h/2π)

где n - главное квантовое число, которое определяет размер и энергию орбиты электрона.

Объединив эти уравнения, мы можем решить для скорости (v) и частоты (f) электрона:

Fc = mev^2 / r = k(-e)(+e) / r^2

mev^2 = ke^2 / r

v = sqrt(ke^2 / m r)

L = mvr = n(h/2π)

v = L / (mr)

v = (n h) / (2π mr)

Подставляя значения для атома водорода, получаем:

r = 5,3 × 10^-11 m

m = 9,11 × 10^-31 кг

e = 1,6 × 10^-19 C

k = 8,99 × 10^9 Н м^2 / C^2

h = 6,626 × 10^-34 Дж с

n = 1 (для основного состояния)

v = (n h) / (2π mr) = (1 × 6,626 × 10^-34 Дж с) / (2π × 9,11 × 10^-31 кг × 5,3 × 10^-11 м) ≈ 2,19 × 10^6 м/с.

Чтобы найти частоту (f) электрона, мы можем использовать уравнение:

f = v / λ

где λ - длина волны электрона. Длина волны де Бройля электрона определяется λ = h / p, где p - импульс электрона. В случае атома водорода мы можем предположить, что электрон движется по круговой орбите, поэтому его импульс задается p = mv. Следовательно:

λ = h / mv = h / (n h / 2π r) = 2π r / n

λ = 2π × 5,3 × 10^-11 м / 1 ≈ 3,33 × 10^-10 м

f = v / λ = 2,19 × 10^6 м/с / 3,33 × 10^-10 м ≈ 6,57 × 10^15 Гц.

Таким образом, скорость электрона в атоме водорода составляет примерно 2,19 × 10^6 м/с, а его частота - примерно 6,57

Answer 2

Для определения скорости и частоты обращения электрона в атоме водорода можно использовать следующие формулы:

1. Скорость электрона (v) в атоме водорода можно найти, используя формулу для центробежной силы и силы электростатического взаимодействия:

   $F_{\text{центр}} = F_{\text{электростат}},$

   $m_e \cdot \frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2},$

   где:

   • $m_e$ - масса электрона ($9.10938356 \times 10^{-31}$ кг),
   • $v$ - скорость электрона,
   • $r$ - радиус орбиты (равный радиусу атома водорода, $5.3 \times 10^{-11}$ м),
   • $\epsilon_0$ - электрическая постоянная ($8.854187817 \times 10^{-12}$ Ф/м),
   • $e$ - элементарный заряд ($1.60217663 \times 10^{-19}$ Кл).

2. Частоту обращения электрона (f) можно найти с помощью формулы для центробежной силы и второго закона Ньютона:

   $F_{\text{центр}} = \frac{m_e \cdot v^2}{r} = m_e \cdot \omega^2 \cdot r,$

   где:

   • $\omega$ - угловая скорость (в радианах в секунду).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала найдем скорость электрона (v):

$m_e \cdot \frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2}.$

Подставим известные значения и решим уравнение:

9.10938356 \times 10^{-31} \cdot \frac{v^2}{5.3 \times 10^{-11}} &= \frac{1}{4\pi \cdot 8.854187817 \times 10^{-12}} \cdot \frac{(1.60217663 \times 10^{-19})^2}{(5.3 \times 10^{-11})^2}\\ v^2 &= \frac{1}{4\pi \cdot 8.854187817 \times 10^{-12}} \cdot \frac{(1.60217663 \times 10^{-19})^2}{(5.3 \times 10^{-11})^2} \cdot \frac{5.3 \times 10^{-11}}{9.10938356 \times 10^{-31}}\\ v &\approx 2.18769 \times 10^6 \, \text{м/с}. \end{align*}\] Теперь найдем частоту обращения электрона (f) с использованием угловой скорости (ω): \[m_e \cdot \omega^2 \cdot r = \frac{m_e \cdot v^2}{r}.\] Подставим значения: \[\omega^2 \cdot 5.3 \times 10^{-11} = \frac{9.10938356 \times 10^{-31} \cdot (2.18769 \times 10^6)^2}{5.3 \times 10^{-11}}.\] Решим уравнение: \[\begin{align*} \omega^2 &= \frac{9.10938356 \times 10^{-31} \cdot (2.18769 \times 10^6)^2}{5.3 \times 10^{-11}} \cdot \frac{1}{5.3 \times 10^{-11}}\\ \omega^2 &\approx 2.9189 \times 10^{16} \, \text{с}^{-2}\\ \omega &\approx 5.4035 \times 10^8 \, \text{с}^{-1}. \end{align*}\] Теперь, чтобы найти частоту обращения электрона (f), мы можем использовать следующее соотношение: \[f = \frac{\omega}{2\pi}.\] Подставим значение угловой скорости: \[f \approx \frac{5.4035 \times 10^8 \, \text{с}^{-1}}{2\pi} \approx 8.59 \times 10^7 \, \text{Гц}.\] Итак, скорость электрона в атоме водорода составляет около \(2.18769 \times 10^6\) м/с, а частота его обращения около \(8.59 \times 10^7\) Гц.